\((1)\)设向量\(a=(x,x+1)\)，\(b=(1,2)\)，且\(a⊥b\)，则\(x=\)________．

\((2)\)已知\(θ\)是第四象限角，且\(\sin (\theta +\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4})=\dfrac{3}{5}\)，则\(\tan (\theta -\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4})=\)________．

\((3)\)设直线\(y=x+2a\)与圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}-2ay-2=0\)相交于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=2\sqrt{3}\)，则圆\(C\)的面积为________．

\((4)\)某高科技企业生产产品\(A\)和产品\(B\)需要甲、乙两种新型材料\(.\)生产一件产品\(A\)需要甲材料\(1.5kg\)，乙材料\(1kg\)，用\(5\)个工时；生产一件产品\(B\)需要甲材料\(0.5kg\)，乙材料\(0.3kg\)，用\(3\)个工时\(.\)生产一件产品\(A\)的利润为\(2100\)元，生产一件产品\(B\)的利润为\(900\)元\(.\)该企业现有甲材料\(150kg\)，乙材料\(90kg\)，则在不超过\(600\)个工时的条件下，生产产品\(A\)、产品\(B\)的利润之和的最大值为________元．

直线\(y{=}kx{+}3\)与圆\((x{-}2)^{2}{+}(y{-}3)^{2}{=}4\)相交于\(M\)，\(N\)两点，若\({|}MN{|} \geqslant 2\)，则\(k\)的取值范围是\((\)　　\()\)

直线\(\ell \)：\(kx+y+4=0(k∈R)\)是圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}+4x-4y+6=0\)的一条对称轴，过点\(A(0,k)\)作斜率为\(1\)的直线\(m\)，则直线\(m\)被圆\(C\)所截得的弦长为\((\)　　\()\)

已知动直线\(\left( 2+\lambda \right)x+\left( 1-2\lambda \right)y+4-3\lambda =0\)与圆\(C\)：\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9\)相交，则相交的最短弦的长度为_____________．

已知点\(P({{x}_{0}}\ ,\ \ {{y}_{0}})\)是圆\(C:{{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=8\)内一点\((C\)为圆心\()\)， 过\(P\)点的动弦\(AB\)．

\((1)\)如果\(P(1\ ,\ \ 1)\)，\(|AB|=2\sqrt{7}\)， 求弦\(AB\)所在直线方程．

\((2)\)如果\(P(1\ ,\ \ 1)\)，求过\(P\)的最短弦的方程

曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2\cos \alpha \\ & y=2+2\sin \alpha \\ \end{cases}(\alpha \)为参数\()\)，\(M\)是曲线\({{C}_{1}}\)上的动点， 且\(M\)是线段\(OP\)的中点，\(P\)点的轨迹为曲线\({{C}_{2}}\)，直线\(l\)的极坐标方程为\(\rho \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\)，直线\(l\)与曲线\({{C}_{2}}\)交于\(A,B\)两点．

\((1)\)求曲线\({{C}_{2}}\)的普通方程；\((2)\)求线段\(AB\)的长\(.\)