已知圆心在原点的圆被直线\(y=x+1\)截得的弦长为\(\sqrt{14}.\)

\((\)Ⅰ\()\)求圆的方程；

\((\)Ⅱ\()\)设动直线\(y=k\left( x-1 \right)\left( k\ne 0 \right)\)与圆\(C\)交于\(A,B\)两点，问在\(x\)轴正半轴上是否存在定点\(N\)，使得直线\(AN\)与直线\(BN\)关于\(x\)轴对称？若存在，请求出点\(N\)的坐标；若不存在，请说明理由；

在直角坐标系\(xoy\)中，曲线\(C\)的参数方程为\({ }\!\!\{\!\!{ }\begin{matrix} x=\sin \alpha +\cos \alpha \\ y=\sin \alpha -\cos \alpha \\\end{matrix}{ }(\alpha \)为参数\()\)．

\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\)的普通方程；

\((\)Ⅱ\()\)在以\(o\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线\(l\)方程为\(\sqrt{2}\rho {\sin }\left( \dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{{4}}-\theta \right)+\dfrac{{1}}{{2}}=0\)，已知直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，求\(\left| AB \right|\)．

过点\((3,1)\)作圆\({{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)的两条切线，切点分别为\(A,B\)，则\(\left| AB \right|=\)_________．

已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，直线\(x+y+\sqrt{3}=0\)与椭圆\(E\)仅有一个公共点．

\((I)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((II)\)直线\(l\)被圆\(O\)：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3\)截得的弦长为\(3\)，且与椭圆\(E\)交于\(A\)、\(B\)两点，\(C\)为圆\(O\)上的动点，求\(\Delta ABC\)面积的最大值．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知圆\(C_{1}\)：\((x+3)^{2}+(y-1)^{2}=4\)和圆\(C_{2}\)：\((x-4)^{2}+(y-5)^{2}=4\)．

\((1)\)若直线\(l\)过点\(A(4,0)\)，且被圆\(C_{1}\)截得的弦长为\(2 \sqrt{3} \)，求直线\(l\)的方程；

\((2)\)设\(P\)为平面上的点，满足：存在过点\(P\)的无穷多对互相垂直的直线\(l_{1}\)和\(l_{2}\)，它们分别与圆\(C_{1}\)和圆\(C_{2}\)相交，且直线\(l_{1}\)被圆\(C_{1}\)截得的弦长与直线\(l_{2}\)被圆\(C_{2}\)截得的弦长相等，试求所有满足条件的点\(P\)的坐标．

\((1)\)设点\(A(-2,0)\)和\(B(0,3)\)，在直线\(l\)：\(x\)\(-\)\(y\)\(+1=0\)上找一点\(P\)，使\(|PA|+|PB|\)的取值最小，则这个最小值为 ______．

\((2)\)已知一圆的圆心坐标为\(C(2,-1)\)，且被直线\(l\)：\(x\)\(-\)\(y\)\(-1=0\)截得的弦长为\(2 \sqrt{2} \)，则此圆的方程 ______．

\((5)\)已知\(A\)，\(B\)均为钝角，且\(\sin A= \dfrac{ \sqrt{5}}{5},\sin B= \dfrac{ \sqrt{10}}{10} \)，求\(A+B\)的值为 ______．

\((6)\)已知\(| \overset{→}{a} |=| \overset{→}{b} |=2\)，\( \overset{→}{a} \)与\( \overset{→}{b} \)的夹角为\(60^{\circ}\)，则\( \overset{→}{a} + \overset{→}{b} \)在\( \overset{→}{a} \)方向上的投影为 ______．

已知直线\(x-y+1=0\)与圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}-4x-2y+m=0\)交于\(A\)，\(B\)两点；

\((1)\)求线段\(AB\)的垂直平分线的方程；

\((2)\)若\(|AB|=2\)，求\(m\)的值；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，求过点\(P(4,4)\)的圆\(C\)的切线方程．

已知直线\(l\)：\(y=kx\)，圆\({{C}_{1}}:{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)与\({{C}_{2}}:{{(x-3)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)，若直线\(l\)被圆\(C\)\({\,\!}_{1}\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)所截得两弦的长度之比是\(3\)，则实数\(k=\)     ．