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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上有一点 \(P\)满足到椭圆的两个焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离\(|PF_{1}|+|PF_{2}|=10\)，离心率\(e= \dfrac {4}{5}\)．
              \((1)\)求椭圆的标准方程．
              \((2)\)若\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，求\(\triangle F_{1}PF_{2}\)的面积．
              难度：较易
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，以原点\(O\)为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(x-y+ \sqrt {6}=0\)相切．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(k_{OA}⋅k_{OB}=- \dfrac {3}{4}.\)求证：\(\triangle AOB\)的面积为定值．
              难度：较易
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            • 3．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((0,-1)\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(P(m,0)\)，过点\((1,0)\)作斜率为\(k(k\neq 0)\)直线\(l\)，与椭圆交于\(M\)，\(N\)两点，若\(x\)轴平分\(∠MPN\)，求\(m\)的值．
              难度：中等
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            • 4．
              在平面直角坐标系\(xOy\)，已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右顶点与上顶点分别为\(A\)，\(B\)，椭圆的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，且过点\((1, \dfrac { \sqrt {3}}{2}).\)
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)如图，若直线\(l\)与该椭圆交于\(P\)，\(Q\)两点，直线\(BQ\)，\(AP\)的斜率互为相反数，求证：直线\(l\)的斜率为定值．
              难度：较难
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            • 5．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，四个顶点围成的四边形的内切圆半径为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的左、右焦点，过\(F_{2}\)作直线交椭圆于\(M\)、\(N\)两点，求三角形\(MNF_{1}\)面积的最大值及取得最大值时直线\(MN\)的方程．
              难度：较易
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            • 6．
              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，以椭圆的短轴为直径的圆与直线\(x-y+ \sqrt {6}=0\)相切．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设椭圆过右焦点\(F\)的弦为\(AB\)、过原点的弦为\(CD\)，若\(CD/\!/AB\)，求证：\( \dfrac {|CD|^{2}}{|AB|^{2}}\)为定值．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)已知定点\(E(-1,0)\)，若直线\(y=kx+2(k\neq 0)\)与椭圆交于\(C\)、\(D\)两点，问：是否存在\(k\)的值，使以\(CD\)为直径的圆过\(E\)点？请说明理由．
              难度：难
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            • 8．
              已知椭圆的一个顶点为\(A(0,-1)\)，焦点在\(x\)轴上，若右焦点到直线\(x-y+2 \sqrt {2}=0\)的距离为\(3\)．
              \((I)\)求椭圆的标准方程；
              \((II)\)设直线\(l\)：\(y=x+m\)，是否存在实数\(m\)，使直线\(l\)与\((1)\)中的椭圆有两个不同的交点\(M\)、\(N\)，且\(|AM|=|AN|\)，若存在，求出 \(m\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 9．
              已知\(P(x,y)\)为椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{25}+ \dfrac {y^{2}}{16}=1\)上一点，\(F\)为椭圆\(C\)的右焦点，若点\(M\)满足\(|MF|=1\)且\(MP⊥MF\)，则\(|PM|\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\([2,8]\)
              B．\([ \sqrt {3},8]\)
              C．\([2,,3 \sqrt {7}]\)
              D．\([ \sqrt {3},3 \sqrt {7}]\)
              难度：较易
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            • 10．
              椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，经过椭圆右焦点且垂直于\(x\)轴的直线被椭圆截得弦的长度为\(3\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若斜率为\(k\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\) 两点\((A,B\)不是左、右顶点\()\)，且以\(AB\)为直径的圆过椭圆\(C\)的右顶点\(.\)求证：直线\(l\)过定点，并求出该定点的坐标．
              难度：较易
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