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          共50条信息

            • 1．

              \(21.\)已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点，离心率为\( \dfrac{1}{2}\)，\(P\)为椭圆上的一点，且\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的面积为\( \sqrt{3}\)．


               \((1)\)求椭圆的方程；

              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=- \dfrac{1}{2}x+m\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，与以\(F_{1}F_{2}\)为直径的圆交于\(C\)，\(D\)两点，且满足\( \dfrac{|AB|}{|CD|}= \dfrac{5 \sqrt{3}}{4}\)，求直线\(l\)的方程．

              难度：中等
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            • 2．

              过双曲线\(2x^{2}-y^{2}=2\)的右焦点作直线\(l\)交双曲线于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=4\)，则这样的直线有________条。

              难度：中等
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            • 3．

              如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，焦点在\(x\)轴上的椭圆\(C:\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\)经过点\((b,2e)(\)其中\(e\)为椭圆\(C\)的离心率\()\)，过点\(T(1,0)\)作斜率为\(k(k > 0)\)的直线\(l\)交椭圆\(C\)于\(A\)，\(B\)两点\((A\)在\(x\)轴下方\()\)．


              \((1)\) 求椭圆\(C\)的标准方程\(;\)

              \((2)\) 设过点\(O\)且平行于\(l\)的直线交椭圆\(C\)于点\(M\)，\(N\)，求\(\dfrac{{AT}\mathrm{{·}}{BT}}{MN^{2}}\)的值\(;\)

              \((3)\) 记直线\(l\)与\(y\)轴的交点为\(P\)，若\(\overrightarrow{{AP}}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{{TB}}\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)．

              难度：较难
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            • 4． 已知曲线\(C_{1}\)：\(\begin{cases}x= & -4+\cos t \\ y= & 3+\sin t\end{cases} \)，\((t\)为参数\()\)，曲线\(C_{2}\)：\( \dfrac {x^{2}}{64}+ \dfrac {y^{2}}{9}=1\)．
              \((1)\)化\(C_{1}\)为普通方程，\(C_{2}\)为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
              \((2)\)若\(C_{1}\)上的点\(P\)对应的参数为\(t= \dfrac {π}{2}\)，\(Q\)为\(C_{2}\)上的动点，求\(PQ\)中点\(M\)到直线\(C_{3}\)：\(x-2y-7=0\)距离的最小值．
              难度：中等
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            • 5．
              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右焦点为\(F\)，短轴的一个端点为\(M\)，直线\(l\)：\(3x-4y=0\)交椭圆\(E\)于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AF|+|BF|=4\)，点\(M\)到直线\(l\)的距离不小于\( \dfrac {4}{5}\)，则椭圆\(E\)的离心率的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\((0, \dfrac { \sqrt {3}}{2}]\)
              B．\((0, \dfrac {3}{4}]\)
              C．\([ \dfrac { \sqrt {3}}{2},1)\)
              D．\([ \dfrac {3}{4},1)\)
              难度：较难
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            • 6．

              已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\ (a > b > 0)\)，\(A\)、\(B\)是椭圆上的两点，线段\(AB\)的垂直平分线与\(x\)轴相交于点\(P({{x}_{0}},0)\)\(.\)证明：\(-\dfrac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{a} < {{x}_{0}} < \dfrac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{a}.\)

              难度：较难
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            • 7．

              已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1\ \)，试确定\(m\)的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线\(y=4x+m\)对称。

              难度：较难
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            • 8．

              已知点\(P\)是直线\(y=x+2 \) 上任意一点，以点\(A\left(-1,0\right) \) 、\(B\left(1,0\right) \) 为焦点的椭圆过点\(P.\)则椭圆离心率 \(e\) 的最大值是________．

              难度：难
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            • 9． 已知双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b < 0)\)的离心率为\( \sqrt {3}\)，焦点到渐近线的距离为\(2\)．
              \((1)\)求双曲线\(C\)的方程；
              \((2)\)已知直线\(x-y+m=0\)与双曲线\(C\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，且线段\(AB\)的中点在圆\(x^{2}+y^{2}=5\)上，求\(m\)的值．
              难度：较易
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            • 10．

              已知椭圆\(x+8y^{2}=8\)，在椭圆上求一点\(P\)，使\(P\)到直线\(l\)：\(x-y+4=0\)的距离最短，并求出最短距离．

              难度：中等
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