知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知椭圆的中心在原点，焦点为 $F_%7B1%7D%28-2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%EF%BC%8C0%29%EF%BC%8CF_%7B2%7D%282%20%5Csqrt%20%7B3%7D%EF%BC%8C0%29$ ，且长轴长为8．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线y=x+2与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．

难度：较易

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2．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BHM%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BHN%7D%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，试求以线段NJ为直径的圆的方程；
（3）已知l₁、l₂是过点A的两条互相垂直的直线，直线l₁与圆O：x²+y²=4相交于P、Q两点，直线l₂与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线l₁的方程．

难度：较易

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3．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ （a＞b＞0）的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且三角形的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设F₁，F₂是椭圆C的左、右焦点，过F₁，F₂任作两条平行直线分别交椭圆于A，B和C，D不同四点，求四边形ABCD的面积的最大值．

难度：较易

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4．已知椭圆的两个焦点F₁、F₂都在y轴上，且a=5，c=3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过椭圆的焦点F₁的直线与椭圆交于A、B两点，求△ABF₂的周长．

难度：较易

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5．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，点M是椭圆上一点，三角形MF₁F₂的面积的最大值为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设不经过焦点F₁的直线ℓ：y=kx+m与椭圆交于不同两点A、B，如果直线AF₁，ℓ，BF₁的斜率依次成等差数列，求m的取值范围？

难度：中等

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6．设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：a²＞ $%20%5Cfrac%20%7B3k%5E%7B2%7D%7D%7B3%2Bk%5E%7B2%7D%7D$ ；
（Ⅱ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ =2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BCB%7D$ ，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

难度：中等

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7． P（x₀，y₀）是双曲线E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）上一点，M，N分别是双曲线E关于原点对称的两点且两者的横坐标不与|x₀|相等．
（1）求证：直线PM，PN的斜率之积为为定值，并写出这个定值；　
（2）若直线PM，PN的斜率之积为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B5%7D$ ，求双曲线的离心率；
（3）在问题（2）的假定下，过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ，求λ的值．

难度：中等

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8．双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ =1中，被点P（2，1）平分的弦所在直线方程是（　　）

A．8x-9y=7

B．8x+9y=25

C．4x-9y=16

D．不存在

难度：较易

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9．已知点P（x，y）是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D$ =1上的一个动点，则点P到直线2x+y-10=0的距离的最小值为 ______ ．

难度：中等

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10．直线 $l%3A%20%5Csqrt%20%7B3%7Dx-y-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%3D0$ 与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOF%7D%3D%5Clambda%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%5Cmu%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%28%5Clambda%20%5Cleq%20%5Cmu%20%29$ ，则 $%20%5Cfrac%20%7B%5Clambda%20%7D%7B%5Cmu%20%7D$ =____________．

难度：中等

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