知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为2，抛物线E：x²=2y的准线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点且与抛物线E在第一象限相切于点P，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M，求
S△PFG
|OG|
的最小值及此时点P的坐标．

难度：中等

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2．在平面直角坐标系xOy中，有一个以 $F_%7B1%7D%280%EF%BC%8C-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 和 $F_%7B2%7D%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 为焦点、离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ） $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%7C$ 的最小值．

难度：较易

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3．设点M到坐标原点的距离和它到直线l：x=-m（m＞0）的距离之比是一个常数 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求点M的轨迹；
（Ⅱ）若m=1时得到的曲线是C，将曲线C向左平移一个单位长度后得到曲线E，过点P（-2，0）的直线l₁与曲线E交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过F（1，0）的直线AF、BF分别交曲线E于点D、Q，设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D$ =α $%20%5Coverrightarrow%20%7BFD%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BBF%7D$ =β $%20%5Coverrightarrow%20%7BFQ%7D$ ，α、β∈R，求α+β的取值范围．

难度：较易

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4．已知三角形ABC中，B（-1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；
（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的外接圆为⊙O₁（O₁为圆心），当P在M上运动时，求点O₁到x轴的距离的最小值．

难度：较易

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5．（2017•湖北模拟）如图，在圆x²+y²=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足
DM
=
2
3
DP
；当点P在圆x²+y²=9上运动时，点M的轨迹为E．
（1）求点M的轨迹的方程E；
（2）与已知圆x²+y²=1相切的直线l：y=km+m交E于A，B两点，求
OA
•
OB
的取值范围．

难度：中等

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x²+y²=12上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N₁（点N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴的交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．已知椭圆C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x²+y²=1截得的弦长为
2
5
5

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，
ON
=λ（
OB
+
OM
），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

难度：中等

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8．已知椭圆c： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D$ =1（a＞ $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ）的右焦点F在圆D：（x-2）²+y²=1上，直线l：x=my+3（m≠0交椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ （O为坐标原点），求m的值；
（Ⅲ）设点N关于x轴的对称点为N₁（N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．已知点P（2，1）在抛物线C₁：x²=2py（p＞0）上，直线l过点Q（0，2）且与抛物线C₁交于A、B两点．
（1）求抛物线C₁的方程及弦AB中点M的轨迹C₂的方程；
（2）若直线l₁、l₂分别为C₁、C₂的切线，且l₁∥l₂，求l₁到l₂的最近距离．

难度：中等

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10．过直线l：5x-7y-70=0上的点P作椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%3D1$ 的切线PM、PN，切点分别为M、N，连接MN．
(1)当点P在直线l上运动时，证明：直线MN恒过定点Q．
(2)当MN∥l时，定点Q平分线段MN．

难度：较难

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