知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆Γ： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ +y²=1（a＞1）的左焦点为F₁，右顶点为A₁，上顶点为B₁，过F₁，A₁，B₁三点的圆P的圆心坐标为（ $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1-%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B2%7D$ ）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k，m为常数，k≠0）与椭圆Γ交于不同的两点M和N．
（i）当直线l过E（1，0），且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BEM%7D$ +2 $%20%5Coverrightarrow%20%7BEN%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7B0%7D$ 时，求直线l的方程；
（ii）当坐标原点O到直线l的距离为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 时，且△MON面积为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 时，求直线l的倾斜角．

难度：较易

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2．已知动点P（x，y）与一定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）己知直线l'：x=my+1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出定点的坐标，并给予证明；否则说明理由．

难度：较易

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3．已知椭圆E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx$ +m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

难度：较易

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4．已知椭圆 $C_%7B1%7D%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的左右焦点分别为F₁，F₂，且F₂为抛物线 $C_%7B2%7D%EF%BC%9Ay%5E%7B2%7D%3D2px$ 的焦点，C₂的准线l被C₁和圆x²+y²=a²截得的弦长分别为 $2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 和4．
（1）求C₁和C₂的方程；
（2）直线l₁过F₁且与C₂不相交，直线l₂过F₂且与l₁平行，若l₁交C₁于A，B，l₂交C₁交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF₁F₂C的面积的取值范围．

难度：较易

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5．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%C2%A0%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k₁，k₂
①求证：k₁•k₂为定值；
②求△CEF的面积的最小值．

难度：中等

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6．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x²+y²-4x-2y+4=0相切．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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7．已知点P（-1， $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ）是椭圆E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ （a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=r²（0＜r＜b），直线l与圆O相切，与椭圆相交于A、B两点，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D0$ ，求圆O的方程．

难度：较易

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8．如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，离心率为e．椭圆上一点C满足：C在x轴上方，且CF₁⊥x轴．
（1）若OC∥AB，求e的值；
（2）连结CF₂并延长交椭圆于另一点D若 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ≤e≤ $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，求 $%20%5Cfrac%20%7B%7CCF_%7B2%7D%7C%7D%7B%7CF_%7B2%7DD%7C%7D$ 的取值范围．

难度：较易

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9．在平面直角坐标系中，直线 $%20%5Csqrt%20%7B2%7Dx-y%2Bm%3D0$ 不过原点，且与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%3D1$ 有两个不同的公共点A，B．
（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；
（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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10．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．

难度：较易

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