知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．设点M到坐标原点的距离和它到直线l：x=-m（m＞0）的距离之比是一个常数 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求点M的轨迹；
（Ⅱ）若m=1时得到的曲线是C，将曲线C向左平移一个单位长度后得到曲线E，过点P（-2，0）的直线l₁与曲线E交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过F（1，0）的直线AF、BF分别交曲线E于点D、Q，设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D$ =α $%20%5Coverrightarrow%20%7BFD%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BBF%7D$ =β $%20%5Coverrightarrow%20%7BFQ%7D$ ，α、β∈R，求α+β的取值范围．

难度：较易

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2．已知椭圆 $C%3A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%3D1$ ，直线l与椭圆C交于A，B两不同的点．P为弦AB的中点．
(1)若直线l的斜率为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B5%7D$ ，求点P的轨迹方程．
(2)是否存在直线l，使得弦AB恰好被点 $%28%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D%2C-%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B5%7D%29$ 平分？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．已知点P（2，1）在抛物线C₁：x²=2py（p＞0）上，直线l过点Q（0，2）且与抛物线C₁交于A、B两点．
（1）求抛物线C₁的方程及弦AB中点M的轨迹C₂的方程；
（2）若直线l₁、l₂分别为C₁、C₂的切线，且l₁∥l₂，求l₁到l₂的最近距离．

难度：中等

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4．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与l，相切于点Q，Q的纵坐标为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dp$ ，E（5，0）是圆M与x轴除F外的另一个交点
（Ⅰ）求抛物线C与圆M的方程：
（Ⅱ）过F且斜率为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ 的直线n与C交于A，B两点，求△ABQ的面积．

难度：较易

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5．过直线l：5x-7y-70=0上的点P作椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%3D1$ 的切线PM、PN，切点分别为M、N，连接MN．
(1)当点P在直线l上运动时，证明：直线MN恒过定点Q．
(2)当MN∥l时，定点Q平分线段MN．

难度：较难

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6．点A、B分别是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B36%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B20%7D$ =1长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
(1)求P点的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

难度：中等

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7．若直线y=x+t与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．

难度：难

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8．
如图，椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ 的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B，C两点．

(1)若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%3D%5Clambda%20%20%5Coverrightarrow%20%7BBC%7D$ ，求实数λ的值；
(2)设点P为△ACF的外接圆上的任意一点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．

难度：较难

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9．如图已知抛物线C：y²=2px(p＞0)的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D$ 的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
(1)求圆M和抛物线C的方程；
(2)设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOG%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOH%7D%3D0$ ，求△GOH面积的最小值；
(3)在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k(x-1)(k≠0)对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是 $%28-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2C0%29$ ， $%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2C0%29$ ，离心率是 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
(Ⅲ)设Q(x，y)是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．

难度：较难

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