知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，离心率为
6
3
，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于4
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

难度：中等

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2．已知椭圆C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x²+y²=1截得的弦长为
2
5
5

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M，
ON
=λ（
OB
+
OM
），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，|F1F2|=2
2
，点A，B在椭圆上，F₁在线段AB上，且△ABF₂的周长等于4
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x²+y²=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

难度：中等

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4．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，点P是椭圆E上的一个动点，△PF₁F₂的周长为6，且存在点P使得，△PF₁F为正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆E上不重合的四个点，AC与BD相交于点F₁，且
AC
•
BD
=0．若AC的斜率为
3
，求四边形ABCD的面积．

难度：中等

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5．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，并且过点P（2，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．

难度：中等

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6．如图，已知F（1，0）为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，离心率
2
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）P为椭圆上一点，椭圆在P点处的切线与直线x=c和右准线x=
a2
c
分别交于点M，N．
①若P（0，1），求
MF
NF
的值；
②探究当P在椭圆上移动时，
MF
NF
的值是否为定值？若是，求出此定值，否则，说明理由．

难度：中等

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