知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF₁的周长为8，且△AF₁F₂的面积的最大时，△AF₁F₂为正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：
|MN|2
|AB|
为定值．

难度：中等

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x²+y²=12上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N₁（点N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴的交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T：x²+（y-1）²=r²（r＞0），圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
TA
•
TB
的最小值，并求出此时圆T的方程；
（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与Y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：|OM|•|ON|为定值．

难度：较难

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆C上异于A，B两点的任意一点，当△PAB为等腰三角形时，则△PAB的面积为2，．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AP与直线x=4交于点M，直线MB交椭圆C于点Q，试问：直线PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，说明理由．

难度：较难

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5．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）它的离心率为
3
3
，一个焦点是（-1，0），过直线x=3上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A和B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若在椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程是
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问是否存在实数λ，使得|
AC
|+|
BC
|=λ|
AC
|•|
BC
|成立，若成立求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=
5
5
，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

难度：较易

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+
6
相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆C的上顶点为B，过点B且互相垂直的动直线l₁，l₂与椭圆的另一个交点分别为P，Q，设直线PQ与y轴相交于点M，若
PM
=λ
MQ
，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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9．已知F₁、F₂是椭圆E：
y2
b2
+
x2
a2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆E的离心率为
1
2
．过原点O的直线交椭圆于C、D两点，若四边形C F₁DF₂的面积最大值为2
3
．
（1）求椭圆E的方程
（2）若直线1与椭圆E交于A、B且OA⊥OB，求证：原点O到直线1的距离为定值．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，其离心率e=
1
2
，点P为椭圆上的一个动点，△PF₁F₂面积的最大值为4
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过F₂的直线m与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，求直线m的方程．

难度：较难

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