知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知P为曲线 $C_%7B1%7D%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B12%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1$ 上的动点，直线C₂的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D3%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）求点P到直线C₂距离的最大值，并求出点P的坐标．

难度：较易

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2．已知A、B分别是椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的长轴与短轴的一个端点，E、F是椭圆左、右焦点，以E点为圆心3为半径的圆与以F点为圆心1为半径的圆的交点在椭圆C上，且|AB|= $%20%5Csqrt%20%7B7%7D$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线ME与x轴不垂直，它与C的另一个交点为N，M′是点M关于x轴的对称点，试判断直线NM′是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．

难度：较易

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3．已知椭圆C：mx²+3my²=1（m＞0）的长轴长为 $2%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程和离心率．
（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧．若BA=BP，求四边形OPAB面积的最小值．

难度：难

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4．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的一个焦点为F（3，0），其左顶点A在圆O：x²+y²=12上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=my+3（m≠0）交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为N₁（点N₁与点M不重合），且直线N₁M与x轴的交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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5．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的短轴一个端点到右焦点F的距离为2，且过点 $%28-1%EF%BC%8C-%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D%29$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N为椭圆C上不同的两点，A，B分别为椭圆C上的左右顶点，直线MN既不平行与坐标轴，也不过椭圆C的右焦点F，若∠AFM=∠BFN，求证：直线MN过定点．

难度：较易

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6．已知离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）过点M（2，0），过点Q（1，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设点P（4，3），记PA，PB的斜率分别为k₁，k₂
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）探讨k₁+k₂是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出k₁+k₂的取值范围．

难度：较易

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7．已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPN%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BNM%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7B0%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BPM%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BPF%7D$ =0．
（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立，请说明理由．

难度：较易

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8．如图，已知直线OP₁，OP₂为双曲线E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ 的渐近线，△P₁OP₂的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B27%7D%7B4%7D$ ，在双曲线E上存在点P为线段P₁P₂的一个三等分点，且双曲线E的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B13%7D%7D%7B2%7D$ ．
（1）若P₁、P₂点的横坐标分别为x₁、x₂，则x₁、x₂之间满足怎样的关系？并证明你的结论；
（2）求双曲线E的方程；
（3）设双曲线E上的动点M，两焦点F₁、F₂，若∠F₁MF₂为钝角，求M点横坐标x₀的取值范围．

难度：中等

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9．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ 的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．
（Ⅰ）求曲线D的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC的三点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则其重心G的坐标为（ $%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%2Bx_%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7By_%7B1%7D%2By_%7B2%7D%2By_%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ））

难度：较易

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10．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y_i≤0，i=1，2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程．

难度：中等

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