知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知圆F₁：（x+1）²+y²=9，圆F₂：（x-1）²+y²=1，动圆P与圆F₁内切，与圆F₂外．O为坐标原点．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）直线l：y=kx-2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程．

难度：较易

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2．在圆x²+y²=9上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点M在线段DP上，满足 $%20%5Cfrac%20%7B%7CDM%7C%7D%7B%7CDP%7C%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ ，当点P在圆上运动时，设点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线y=m（x+5）上存在点Q，使过点Q作曲线C的两条切线互相垂直，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．设O为坐标原点，动点M在椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ +y²=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BNP%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ $%20%5Coverrightarrow%20%7BNM%7D$ ．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=-3上，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BPQ%7D$ =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

难度：较易

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4．已知点P是圆F₁：（x-1）²+y²=8上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称，线段PF₂的垂直平分线分别与PF₁，PF₂交于M，N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点 $G%280%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29$ 的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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5．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与l，相切于点Q，Q的纵坐标为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dp$ ，E（5，0）是圆M与x轴除F外的另一个交点
（Ⅰ）求抛物线C与圆M的方程：
（Ⅱ）过F且斜率为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ 的直线n与C交于A，B两点，求△ABQ的面积．

难度：较易

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6．点A、B分别是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B36%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B20%7D$ =1长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
(1)求P点的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

难度：中等

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7．若直线y=x+t与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2By%5E%7B2%7D%3D1$ 相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．

难度：难

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8．
如图，椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ 的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B，C两点．

(1)若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%3D%5Clambda%20%20%5Coverrightarrow%20%7BBC%7D$ ，求实数λ的值；
(2)设点P为△ACF的外接圆上的任意一点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．

难度：较难

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9．如图已知抛物线C：y²=2px(p＞0)的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D$ 的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
(1)求圆M和抛物线C的方程；
(2)设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOG%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOH%7D%3D0$ ，求△GOH面积的最小值；
(3)在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k(x-1)(k≠0)对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是 $%28-%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2C0%29$ ， $%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2C0%29$ ，离心率是 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
(Ⅲ)设Q(x，y)是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．

难度：较难

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