知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P为圆x²+y²=4上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q（P与Q不重合），M为线段PQ中点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线y=kx交（1）中轨迹C于A，B两点，当直线MA，MB斜率K_MA，K_MB都存在时，求证：K_MA•K_MB为定值．

难度：较易

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2．在圆O：x²+y²=4上任取一点P，过点P作y轴额垂线段PQ，Q为垂足．当P在圆上运动时，线段PQ中点G的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直线l与圆O交于M，N两点，与曲线C交于E，F两点，若|MN|= $%20%5Cfrac%20%7B8%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ ，试判断∠EOF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

难度：较易

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3．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的左、右焦点分别为F₁，F₂，左、右顶点分别为A₁，A₂，上、下顶点分别为B₂，B₁，△B₂OF₂是斜边长为2的等腰直角三角形，直线l过A₂且垂直于x轴，D为l上异于A₂的一动点，直线A₁D交椭圆于点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A₁C=2CD，求直线OD的方程；
（3）求证： $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOD%7D$ 为定值．

难度：较易

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4．如图，点F为椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）右焦点，圆A：（x-t）²+y²= $%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7B3%7D$ （t＜0）与椭圆C的一个公共点为B（0，2），且直线FB与圆A相切于点B．
（Ⅰ）求t的值和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若F′是椭圆C的左焦点，点P是椭圆C上除长轴上两个顶点外的任意一点，且∠F′PF=θ，求θ的最大值．

难度：较易

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5．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的一个焦点为F（1，0），其离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x+m与C相交于A，B两点，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D-1$ （O为坐标原点），求实数m的值．

难度：较易

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6．已知点M，N分别是椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，椭圆的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．

难度：难

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7．如图，已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，短轴长为2，直线l与圆O：x²+y²= $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B5%7D$ 相切，且与椭圆C相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明： $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ 为定值．

难度：中等

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8．椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的两个焦点与它的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y=0与以椭圆C的右顶点为圆心，以2b为半径的圆相交所得的弦长为2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过椭圆C右焦点F₂的直线l与椭圆交于点P、Q，若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

难度：较易

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9．设F₁、F₂分别是离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ 的椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，经过点F₂且与x轴垂直的直线l被椭圆截得的弦长为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P、Q两点，线段AB的中点M在直线l上，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DP%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DQ%7D$ 的取值范围．

难度：较易

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10．设A，B分别是直线y= $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ x和y=- $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ x上的动点，且|AB|=2 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ，设O为坐标原点，动点P满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）斜率为1不经过原点O，且与动点P的轨迹相交于C，D两点，M为线段CD的中点，直线CD与直线OM能否垂直？证明你的结论．

难度：较易

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