已知点\({{F}_{1}}\left( -\sqrt{2},0 \right)\)，圆\({{F}_{2}}:{{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16\)，点\(M\)是圆上一动点，\(M{{F}_{1}}\)的垂直平分线与线段\(M{{F}_{2}}\)交于点\(N\)．

\((1)\)求点\(N\)的轨迹方程；

\((2)\)设点\(N\)的轨迹为曲线\(E\)，过点\(P\left( 0,1 \right)\)且斜率不为\(0\)的直线\(l\)与\(E\)交于\(A,B\)两点，点\(B\)关于\(y\)轴的对称点为\({B}{{{'}}}\)，证明直线\(A{B}{{{'}}}\)过定点，并求\(\Delta PA{B}{{{'}}}\)面积的最大值．

已知点\(A(2,0)\)，\(O\)为坐标原点，动点\(P\)满足\(\left| \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA} \right|+\left| \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA} \right|=4\sqrt{2}\)．

\((1)\)求动点\(P\)的轨迹\(C\)的标准方程；

\((2)\)过点\(A\)且不垂直于坐标轴的直线\(l\)轨迹\(C\)于不同的两点\(M\)，\(N\)，线段\(MN\)的垂直平分线与\(x\)交于点\(D\)，线段\(MN\)的中点为\(H\)，求\(\dfrac{\left| DH \right|}{\left| MN \right|}\)的取值范围．

如图，点\(A\)是椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的短轴位于\(y\)轴下方的端点，过点\(A\)且斜率为\(1\)的直线交椭圆于点\(B\)，若\(P\)在\(y\)轴上，且\(BP/\!/x\)轴，\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=9\)．

\((1)\)若点\(P\)的坐标为\((0,1)\)，求椭圆\(C\)的标准方程；

\((2)\)若点\(P\)的坐标为\((0,t)\)，求\(t\)的取值范围．

\((1)\)求\(k\)的取值范围．

\((2)\)设椭圆与\(x\)轴正半轴、\(y\)轴正半轴的交点分别为\(A\)，\(B\)，是否存在常数\(k\)，使得向量\(\overset{—→}{OP}+\overset{—→}{OQ}\)与\(\overset{—→}{AB}\)共线？如果存在，求\(k\)值；如果不存在，请说明理由．

直线\(y=x+2\)与椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{m}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1\)有两个公共点，则\(m\)的取值范围是\((\)   \()\)

\((1)\)求椭圆\({C}\)的标准方程；

设非零向量\(\overrightarrow{c}\)，\(\overrightarrow{d}\)，规定：\(\overrightarrow{c}\otimes \overrightarrow{d}=|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{d}|\sin \theta (\)其中\(\theta =\left\langle \overrightarrow{c},\overrightarrow{d} \right\rangle ).F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点，点\(A\)，\(B\)分别是椭圆\(C\)的右顶点、上顶点，若\(O\)为坐标原点，\( \overset{⇀}{OA}× \overset{⇀}{OB}=2 \sqrt{3} \)，椭圆\(C\)的长轴的长为\(4\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)过点\(F_{2}\)的直线\(l\)交椭圆\(C\)于点\(M\)，\(N\)，若\(\overrightarrow{OM}\otimes \overrightarrow{ON}=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}\)，求直线\(l\)的方程．