知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，且经过点 $M%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A01%29$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，求直线l的方程．

难度：难

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2．如图所示，椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B．已知 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C$ 、 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DB%7D%7C$ 、 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%7CF_%7B1%7DF_%7B2%7D%7D%7C$ 成等比数列， $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DB%7D%7C$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7B%7CF_%7B1%7DF_%7B2%7D%7D%7C$ =2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，且k₁•k₂= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．

难度：中等

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3．设椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°， $%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BFB%7D$ ．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|= $%20%5Cfrac%20%7B15%7D%7B4%7D$ ，求椭圆C的方程．

难度：较易

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4．已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且 $%7CMN%7C%3D%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7B9%7D%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ，求直线l的方程．

难度：中等

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5．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，左、右焦点分别为F₁、F₂，点 $P%282%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

难度：较难

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6．已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，-2），离心率为 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，过点P作斜率为k₁，k₂的直线PA，PB，分别交椭圆于点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若k₁•k₂=2，证明直线AB过定点，并求出该定点．

难度：较易

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7．已知定点 $A%28-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%EF%BC%8C0%29$ ，B是圆 $C%EF%BC%9A%28x-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3D16$ （C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

难度：较易

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8．已知直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

难度：较易

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9．已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为(-1，0)，(1，0)．
(Ⅰ)求顶点C的轨迹W的方程；
(Ⅱ)线段CA的延长线交顶点C的轨迹W于点D，当 $%7CCB%7C%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ 且点C在x轴上方时，求线段CD垂直平分线l的方程．

难度：中等

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10．已知圆 $M%3A%28x%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%29%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%3D36$ ，定点 $N%28%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2C0%29$ ，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BNP%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BNQ%7D%2C%20%5Coverrightarrow%20%7BGQ%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BNP%7D%3D0$ ．
(I)求点G的轨迹C的方程；
(II)过点(2，0)作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOS%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

难度：较难

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