知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P，Q是抛物线y²=4x上两点，且
OP
•
OQ
=0（点O为坐标原点），则直线PQ过定点．

难度：中等

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2．抛物线C：y²=4x的准线与x轴交于M，过焦点F作倾斜角为60°的直线与C交于A，B两点，则tan∠AMB= ．

难度：中等

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3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，若点M（-2，y）在抛物线上，且点M到该抛物线焦点的距离为3，
（1）求抛物线的标准方程及点M的坐标．
（2）过点C（-3，
1
2
）做直线l，使得直线l与抛物线相交于A，B两点．恰好C为弦AB的中点，求直线l的方程．

难度：中等

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4．已知物物线x²=4y的焦点为F，准线为l，经过l上任意一点P作抛物线x²=4y的两条切线，切点分别为A、B．
（I）求证：PA⊥PB；
（2）求
AF
•
FB
-
PF
²的值．

难度：中等

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5．设直线l与抛物线y²=4x相交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为M，当
OA
•
OB
取最小值时，点M的轨迹方程是．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为N，点N到抛物线C的准线的距离为
3
4
．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当过点P（4，1）的动直线l与抛物线C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|
AP
|•|
QB
|=|
AQ
|•|
PB
|，证明：点Q总在某定直线上．

难度：中等

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7．已知抛物线y²=2px（p＞0），过点（4，0）作直线l交抛物线于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上的定点M（1，
2p
）作两条关于直线x=1对称的直线，分别交抛物线于C，D两点，连接CD，试问：直线CD的斜率是否为定值？请说明理由．

难度：中等

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8．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线交于P，Q两点，设点P关于x轴的对称点为点M，直线MQ与x轴交于点N，若△PQN的面积4
3
，则实数p= ．

难度：中等

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9．已知抛物线Г：y²=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，准线为x=-1，倾斜角为锐角的直线l过点F且交抛物线于A（x，₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（其中y₁＜0，y₂＞0），与y轴交于C点．
（Ⅰ）M是抛物线Г在第一象限上的动点，则当
|MO|
|MF|
取得最大值时，试确定点M的坐标；
（Ⅱ）证明：点（
|CA|
|AF|
，
|CB|
|BF|
）在直线x-y+1=0上．

难度：中等

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10．抛物线y²=8x上一点到其焦点的距离为20，那么该点坐标是．

难度：中等

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