知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过A，B两点分别作抛物线C的切线l₁，l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明AB⊥MF．

难度：中等

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2．已知抛物线x²=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|= ．

难度：中等

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3．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线y²=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线l：x-2
2
y+2=0相切．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A、B两点，且椭圆M上存在点P满足
OP
=
OA
+
OB
，求m的值．

难度：中等

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4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x²=2py的焦点为M．
（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
（2）若直线MF与抛物线C交于A、B两点，求△OAB的面积．

难度：中等

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5．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，并且经过点P（1，-2），C的准线与x轴相交于点M．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若
AF
=λ
FB
(
3
4
＜λ＜2)，求
MA
2+
MB
2的取值范围．

难度：较难

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6． F为抛物线y²=12x的焦点，过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，过A作AH垂直抛物线的准线于H，若直线l的倾角α∈（0，
π
3
]，则△AFH面积的最小值为．

难度：较难

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7．已知点A是抛物线y²=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是
128
3
时，则抛物线的方程为．

难度：中等

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8．已知过定点（1，0）的直线与抛物线x²=y相交于不同的A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则（x₁-1）（x₂-1）= ．

难度：中等

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9．（2016•永州二模）如图AB是抛物线C：x²=4y过焦点F的弦（点A在第二象限），过点A的直线交抛物线于点E，交y轴于点D（D在F上方），且|AF|=|DF|，过点B作抛物线C的切线l
（1）求证：AE∥l；
（2）当以AE为直径的圆过点B时，求AB的直线方程．

难度：中等

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10．（1）若抛物线的焦点在y轴上，点 A（m，-2）在抛物线上，且|AF|=3，求抛物线的标准方程及△O AF的面积．
（2）以椭圆
x2
8
+
y2
5
=1的长轴短点为焦点，且经过（3，
10
）的双曲线的标准方程．

难度：中等

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