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          共50条信息

            • 1．

              设抛物线\(x^{2}=2y\)的焦点为\(F\)，经过点\(P(1,3)\)的直线\(l\)与抛物线相交于\(A\)，\(B\)两点，且点\(P\)恰为\(AB\)的中点，则\(|\overrightarrow{{AF}}|+|\overrightarrow{{BF}}|=\)____\(.\) 

              难度：中等
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            • 2． 已知直线\(l_{1}\)：\( \sqrt{3}x+ \sqrt{10}y-4=0\)为曲线\(C_{1}\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一条切线，直线\(l_{2}\)：\(x-2y-4=0\)为曲线\(C_{2}\)：\( \dfrac{x^{2}}{4a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{2b^{2}}=1\)的一条切线．
              \((1)\)求曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)的方程；

              \((2)\)作抛物线\(y\)\({\,\!}^{2}\)\(=2px(p > 0)\)交\(C\)\({\,\!}_{1}\)于\(A\)，\(B\)两点，交\(C\)\({\,\!}_{2}\)于\(C\)，\(D\)两点，当以\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四点为顶点的凸四边形面积为最大时，求实数\(p\)的值．

              难度：较难
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            • 3．

              在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)与抛物线\({{y}^{2}}=2x\)相交于\(A\)、\(B\)两点。

              \((1)\)求证：命题“如果直线\(l\)过点\(T(3,0)\)，那么\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=3\)”是真命题；

              \((2)\)写出\((1)\)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

              难度：较难
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            • 4．

              已知\(F\)为抛物线\(C: y^{2}=4x\)的焦点，过\(F\)的直线\(l\)与\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的垂直平分线交\(x\)轴于点\(M\)，垂足为\(E\)，若\(\left| {AB} \right|=6\)，则\(\left| {EM} \right|= (\)　　\()\)

              A．\(2\sqrt{2}\)
              B．\(\sqrt{6}\)
              C．\(2\) 
              D．\(\sqrt{3}\)
              难度：中等
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            • 5．

              已知倾斜角为\(\dfrac{π}{4} \)的直线经过抛物线\(r\)：\({y}^{2}=2px\left(p > 0\right) \)的焦点\(F\)，与抛物线\(r\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(\left|AB\right|=8 \)．

              \((\)Ⅰ\()\)求抛物线的方程；

              \((\)Ⅱ\()\)过点\(P\left(12,8\right) \)的两条直线\({l}_{1} \)、\({l}_{2} \)分别交抛物线\(r\)于点\(C\)、\(D\)和\(E\)、\(F\)，线段\(CD\)和\(EF\)的中点分别为\(M\)、\(N.\)如果直线\({l}_{1} \)与\({l}_{2} \)的倾斜角互余，求证：直线\(MN\)经过一定点．

              难度：难
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            • 6．

              已知点\(P\)是抛物线\(C\)：\(y^{2}=x\)上的定点\((P\)位于第一象限\()\)，动直线\(l\)：\(y=- \dfrac{ \sqrt{3}}{6}x+m(m < 0)\)与抛物线\(C\)相交于不同的两点\(A\)，\(B\)，若对任意的\(m∈(-∞,0)\)，直线\(PA\)，\(PB\)的倾斜角总是互补，则点\(P\)的坐标是________．

              难度：较难
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            • 7． 已知过点\(A(-4,0)\)作动直线\(m\)与抛物线\(G\)：\(x^{2}=2py(p > 0)\)相交于\(B\)、\(C\)两点．
              \((1)\)当直线的斜率是\( \dfrac {1}{2}\)时，\( \overrightarrow{AC}=4 \overrightarrow{AB}\)，求抛物线\(G\)的方程；
              \((2)\)设\(B\)、\(C\)的中点是\(M\)，利用\((1)\)中所求抛物线，试求点\(M\)的轨迹方程．
              难度：较易
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            • 8．

              已知定点\(F(0,1)\)和直线\(l_{1}\)：\(y=-1\)，过定点\(F\)与直线\(l_{1}\)相切的动圆的圆心为点\(C\)．

              \((1)\)求动点\(C\)的轨迹方程；

              \((2)\)过点\(F\)的直线\(l_{2}\)交轨迹于\(P\)，\(Q\)两点，交直线\(l_{1}\)于点\(R\)，求\(\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}\) 的最小值．

              难度：较难
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            • 9．

              已知点\(C\)为\(y^{2}=2px(p > 0)\)的准线与\(x\)轴的交点，点\(F\)为焦点，点\(A\)，\(B\)为抛物线上两个点，若\( \overset{→}{FA}+ \overset{→}{FB}+2 \overset{→}{FC}=0 \)．



              \((1)\)求证：\(AB⊥x\)轴；

              \((2)\)求向量\( \overset{→}{FA} \)与\( \overset{→}{FB} \)的夹角．

              难度：难
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            • 10．
              过抛物线 \(y^{2}{=}2{px}\left( p{ > }0 \right)\) 的焦点作直线交抛物线于点 \(P\left( x_{1}{,}y_{1} \right)\) ，\(Q\left( x_{2}{,}y_{2} \right)\) 两点，若 \(x_{1}{+}x_{2}{=}6\) ，\({PQ}{=}10\) ，则抛物线的方程为________________．
              难度：中等
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