知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知双曲线\({C}:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右焦点分别为\({{{F}}_{1}}\)、\({{{F}}_{2}}\)，点\({M} \)是双曲线右支上一点，且\({M} {{{F}}_{1}}\bot {M} {{{F}}_{2}}\)，延长\({M} {{{F}}_{2}}\)交双曲线\({C}\)于点\(P\)，若\(\left| {M} {{{F}}_{1}} \right|=\left| {R} {{{F}}_{2}} \right|\)，则双曲线\({C}\)的离心率为

A．\(\sqrt{3}\)

B．\(2\)

C．\(\sqrt{6}\)

D．\(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)

难度：较难

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2．双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的离心率为\( \sqrt {2}\)，双曲线\(C\)的渐近线与抛物线\(y^{2}=2px(p > 0)\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(\triangle OAB(O\)为坐标原点\()\)的面积为\(4\)，则抛物线的方程为\((\)　　\()\)

A．\(y^{2}=8x\)

B．\(y^{2}=4x\)

C．\(y^{2}=2x\)

D．\(y^{2}=4 \sqrt {3}x\)

难度：较易

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3．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，\(P(1,m)\)是抛物线\(C\)上的一点，且\(|PF|=2\)．
\((1)\)若椭圆\(C′： \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{n}=1\)与抛物线\(C\)有共同的焦点，求椭圆\(C{{'}}\)的方程；
\((2)\)设抛物线\(C\)与\((1)\)中所求椭圆\(C{{'}}\)的交点为\(A\)、\(B\)，求以\(OA\)和\(OB\)所在的直线为渐近线，且经过点\(P\)的双曲线方程．

难度：难

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4．
\((1)\)下列四个命题正确的是__________

\(①\)线性相关系数\(r\)越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

\(②\)残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

\(③\)用相关指数\({{R}^{2}}\)来刻画回归效果，\({{R}^{2}}\)越小，说明模拟效果越好

\(④\)实数\(a,b\)满足\({{(\dfrac{1}{2})}^{a}}={{(\dfrac{1}{3})}^{b}}\)，则有\(a=b\)或\(0 < b < a\)

\((2)\)某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区\(5\)户家庭，得到如下统计数据表：

收入\(x/\)万元

\(8.2\)

\(8.6\)

\(10.0\)

\(11.3\)

\(11.9\)

支出\(y/\)万元

\(6.2\)

\(7.5\)

\(8.0\)

\(8.5\)

\(9.8\)

可得回归直线方程\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)，其中\(\hat{b}=0.76\)，据此估计，该社区一户年收入为\(15\)万元家庭的年支出为____．

\((3)\)设直线\(x=-\dfrac{{{a}^{2}}}{c}\) 与双曲线的两条渐近线交于\(A\)，\(B\)两点，左焦点在以\(AB\)为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．

\((4)\)已知函数\(f\left( x \right)=4{{{e}}^{x}}(x+1)-k\left( \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right)\)，若\(x=-2\)是\(f\left( x \right)\)的唯一的极值点，则实数\(k\)的取值范围为______．

难度：较难

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5．

经过点\(A\)\((3,-1)\)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．

难度：难

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6．设 \(F\)\({\,\!}_{1}\)， \(F\)\({\,\!}_{2}\)分别为双曲线\( \dfrac{x^2 }{a^2 }- \dfrac{y^2 }{b^2 }=1( \)\(a\)\( > 0\)， \(b\)\( > 0)\)的左，右焦点\(.\)若在双曲线右支上存在点 \(P\)，满足\(|\) \(PF\)\({\,\!}_{2}|=|\) \(F\)\({\,\!}_{1}\) \(F\)\({\,\!}_{2}|\)，且 \(F\)\({\,\!}_{2}\)到直线 \(PF\)\({\,\!}_{1}\)的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )

A．\( \dfrac{4}{3}\)

B．\( \dfrac{5}{3}\)

C．\( \dfrac{5}{4}\)

D．\( \dfrac{ \sqrt{41}}{4}\)

难度：中等

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7．

若\(k∈R\)，则“\(k > 3\)”是“方程\(\dfrac{{{x}^{2}}}{k-3}-\dfrac{{{y}^{2}}}{k+3}=1\)表示的曲线是双曲线”的________条件\(.(\)填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”\()\)

难度：较易

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8．设双曲线\( \dfrac {y^{2}}{a^{2}}- \dfrac {x^{2}}{3}=1\)的两个焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，离心率为\(2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求此双曲线的渐近线\(l_{1}\)、\(l_{2}\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)若\(A\)、\(B\)分别为\(l_{1}\)、\(l_{2}\)上的点，且\(2|AB|=5|F_{1}F_{2}|\)，求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

难度：较易

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9．

已知双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)与抛物线\(y^{2}=2px(p > 0)\)有公共焦点\(F\)且交于\(A\)，\(B\)两点，若直线\(AB\)过焦点\(F\)，则该双曲线的离心率是\((\)　　\()\)

A．\( \sqrt {2}\)

B．\(1+ \sqrt {2}\)

C．\(2 \sqrt {2}\)

D．\(2+ \sqrt {2}\)

难度：较难

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10．
已知双曲线\(C\)的渐近线方程为\(y=±2x\)，且经过点\((2,2)\)，则\(C\)的方程为________．

难度：易

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收入\(x/\)万元	\(8.2\)	\(8.6\)	\(10.0\)	\(11.3\)	\(11.9\)
支出\(y/\)万元	\(6.2\)	\(7.5\)	\(8.0\)	\(8.5\)	\(9.8\)