知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．双曲线E与椭圆
x2
25
+
y2
16
=1有公共焦点，且离心率为
3
2
．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若斜率为1的直线l交双曲线E于A、B两点，且|AB|=4
30
，求l方程．

难度：中等

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2．如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA=100m，BP=120m，BC=60m，∠APB=60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．

难度：较难

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3．过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F₁（-2，0）、右焦点F₂（2，0）分别作x轴的垂线，交双曲线的两渐近线于A、B、C、D四点，且四边形ABCD的面积为16
3
．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF₂为半径的圆交射线PF₁于M，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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4．已知动点P与双曲线
x2
2
-
y2
3
=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为6．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若已知D（0，3），点M、N在动点P的轨迹上，且
DM
=λ
DN
，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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5．已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线交双曲线右支于A、B两点．若△ABF₁是以B为顶点的等腰三角形，且△AF₁F₂，△BF₁F₂的面积之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1，则双曲线的离心率为．

难度：较难

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6．已知双曲线C的中点在原点，双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（
2
，
3
）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左顶点为A，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．

难度：较难

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7．已知：双曲线x²-2y²=2的左、右焦点分别为F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求：动点P的轨迹E的方程；
（2）若M是曲线E上的一个动点，求|MF₂|的最小值．并说明理由．

难度：较难

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8．已知A、B是双曲线C：
x2
4
-
y2
3
=1的左、右顶点，P是坐标平面上异于A、B的一点，设直线PA、PB的斜率分别为k₁，k₂．
求证：k₁k₂=
3
4
是P点在双曲线C上的充分必要条件．

难度：中等

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9．给定双曲线x2-
y2
2
=1，过A（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于B、C两点，且A为线段BC中点？这样的直线若存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

难度：中等

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10．已知双曲线C的两个焦点分别为F1(-2
2
，0)、F2(2
2
，0)，双曲线上一点P到F₁、F₂的距离的差的绝对值等于4．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx-1与双曲线C没有公共点，求实数k的取值范围．

难度：中等

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