知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．经过双曲线x²- $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D$ =1的左焦点F₁作倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ 的弦AB．求：
（1）线段AB的长；
（2）设F₂为右焦点，求△F₂AB的周长．

难度：较易

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2．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%29$ 的一个焦点，抛物线与双曲线交点为 $P%28%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B6%7D%29$ ，求抛物线方程和双曲线方程．

难度：较易

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3．在直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是双曲线D： $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-x%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ 的中心，抛物线C的焦点与双曲线D的焦点相同．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点P（t，1）（t＞0）为抛物线C上的定点，A，B为抛物线C上两个动点．且PA⊥PB，问直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．

难度：较易

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4．已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，且过点M（4，- $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ）．
（1）求双曲线方程；
（2）若点N（3，m）在双曲线上，求证： $%20%5Coverrightarrow%20%7BNF%7D$ ₁•N $%20%5Coverrightarrow%20%7BF%7D$ ₂=0．

难度：较易

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5．已知双曲线x²-y²=4，直线l：y=k（x-1），试在下列条件下，求实数k的取值范围：
（1）直线l与双曲线有两个公共点，
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点．

难度：较易

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6．已知双曲线M： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B7%7D$ =1的一个焦点是抛物线N：y²=2px（p＞0）的焦点F．
（1）求抛物线N的标准方程；
（2）设双曲线M的左右顶点为C，D，过F且与x轴垂直的直线与抛物线交于A，B两点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BBD%7D$ 的值．

难度：易

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7．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B2%7D$ ，直线 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ x-3y+5=0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于 $%20%5Cfrac%20%7B4%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ．
（1）求双曲线S的方程；
（2）设经过点（-2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．

难度：较易

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8．如图，已知双曲线 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-y%5E%7B2%7D%3D1%28a%EF%BC%9E0%29$ 的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．求双曲线C的方程．

难度：较易

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9．已知直线l：x+y=1与双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ -y²=1（a＞0）．
（1）若a= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求l与C相交所得的弦长；
（2）若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．

难度：较易

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10．已知抛物线的顶点是双曲线16x²-9y²=144的中心，而焦点是双曲线的顶点，求抛物线的方程．

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