知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知A₁，A₂，B₁，B₂分别为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）实轴与虚轴的两个端点，P（4，
2
）为双曲线上一点，且满足k A1P•k A2P=
1
4
．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点Q（2，2）的直线l与该双曲线有且只有一个公共点，求直线l的方程．

难度：中等

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2． A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．

难度：较难

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3．已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，Q为右支上一点，F为右焦点，O为坐标原点，△OFQ的面积为2
6
，
OF
•
FQ
=m．
（1）设
6
≤m≤4
6
，求∠OFQ正切值的取值范围；
（2）若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，求当 |
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．

难度：较难

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4．已知舰A在舰B的正东，距离6公里，舰C在舰B的北偏西30？，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A发现动物信号，4秒后，舰B，C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰A炮击的方位角．

难度：中等

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5．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|
OA
|、|
OB
|、|
OF
|成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．
（1）求证：
PA
•
OP
=
PA
•
FP
；
（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围．

难度：中等

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6．设A、B是双曲线x2-
y2
2
=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．
（I）求直线AB的方程
（II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

难度：中等

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7．已知双曲线
x2
16
-
y2
4
=1的两焦点为F₁、F₂．
（1）若点M在双曲线上，且
MF1
•
MF2
=0，求M点到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点（3
2
，2），求双曲线C的方程．

难度：中等

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8．已知点F₁，F₂为双曲线C：x²-
y2
b2
=1（b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF₁F₂=30°，圆O的方程为x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上的点到两条渐近线的距离分别为d₁，d₂，求d₁•d₂的值；
（3）过圆O上任意一点P（x₀，y₀）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，求
OA
•
OB
的值．

难度：中等

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