知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为
1
2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为
3
．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF₂与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求
PA
•
F2C
的取值范围．

难度：较难

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2．在椭圆E：
x2
4
+y2=1上任取一点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足
DM
=2
DP
，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点B₁（0，1）作直线交椭圆E于A₁，B₁，交曲线C于A₂，B₂，当|A₁B₁|最大时，求|A₂B₂|．

难度：中等

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3．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于
3
2
，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
5
，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且
AP
=λ
PB
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若
AP
=3
PB
，求m²的取值范围．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且短轴长为6．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线C相交于A，B两点，且以AB为直角的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知离心率为
1
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点A（2，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且S_△AMN=
6
2
7
，求直线l的一般方程．

难度：中等

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6．已知抛物线C：x²=2py的焦点与椭圆
y2
4
+
x2
3
=1的上焦点重合，点A是直线x-2y-8=0上任意一点，过A作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N．
（I）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明直线MN过定点，并求出定点坐标．

难度：中等

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7．已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于
2
5
5
，且过点（1，
2
5
5
）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若
MA
=λ₁
AF
，
MB
=λ₂
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．

难度：中等

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8．已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（
3
2
，1），一个焦点是F（0，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁，A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁，PA₂分别与椭圆C交于M，N两点．试问：当点Q在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒过定点Q？证明你的结论．

难度：中等

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9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆
x2
8
+
y2
4
=1上一点A（2，
2
），点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线l交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，k_AB+k_AC= ．

难度：较易

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10．如图所示，在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，点B（0，-b）是椭圆C的下顶点，BF₁的延长线交椭圆C于点A，点D和点A关于x轴对称．
（1）若BF₁=2，点D（-
8
3
7
，-
1
7
），求椭圆的标准方程；
（2）若
DF2
•
BA
=0，求椭圆C的离心率e．

难度：中等

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