知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1与双曲线
x2
4-v
+
y2
1-v
=1(1＜v＜4)有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y²=2x于P、Q两点，且OP⊥OQ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在椭圆C上，是否存在点R（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．设椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C₂：x²=4
3
y的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=
1
2
，过椭圆右焦点F₂的直线与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使得
OM
•
ON
=-2，若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．将抛物线x2=-2
2
y向上平移
2
个单位长度后，抛物线过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上顶点和左右焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）若点P（m，0）满足如下条件：过点P且倾斜角为
5
6
π的直线l与椭圆相交于C、D两点，使右焦点F在以CD线段为直径的圆外，试求m的取值范围．

难度：较难

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4．已知双曲线x²-y²=2013的左、右顶点分别为M、N，点P是双曲线上异于M、N的任意一点．
（1）记直线PM、PN的斜率分别为k_PM、k_PN，求证：k_PM•k_PN为定值；
（2）若点P是双曲线上位于第一象限的点，且∠PNM=7∠PMN，求∠MPN．
（3）类比到椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，M、N为其左、右顶点，点P是椭圆上异于M、N的任意一点．k_PM•k_PN还是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．

难度：中等

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5．椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，
|CD|
|AB|
=2
2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点F₁、O（O为坐标原点），并且与直线x=-
a2
c
（其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求
F2A
•
F2B
=
1
2
时直线l的方程．

难度：较易

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6．已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足
MN
•
MP
=6|
NP
|．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上是否存在点Q，使得△MNQ的面积S△MNQ=
3
2
？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．

难度：中等

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7．过抛物线y=x²上异于原点的任意两点A、B所作的两条切线交于点P，且交x轴于M、N（如图），F为抛物线的焦点．
（Ⅰ）求点P的坐标（用A、B的横坐标x₁和x₂表示）；
（Ⅱ）求证：|FP|²=|FA|•|FB|；
（Ⅲ）设S_△OAB=λS_△PMN，试求λ的值．

难度：较难

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8．过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x₀，y₀），
PA
•
PB
=0．
（Ⅰ）求y₀；
（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中直线AB恒过定点为F，若
FA
•
FB
+λ(
FP
)2=0恒成立，求λ的值．

难度：较难

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9．已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，Q为右支上一点，F为右焦点，O为坐标原点，△OFQ的面积为2
6
，
OF
•
FQ
=m．
（1）设
6
≤m≤4
6
，求∠OFQ正切值的取值范围；
（2）若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，求当 |
OQ
|取得最小值时，求此双曲线的方程．

难度：较难

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10．已知椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）有公共焦点F₂（1，0），且3a²=4b²．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁，与抛物线交于不同两点P，Q，且满足
F1P
=λ
F1Q
，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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