已知曲线\(C\)上的任一点到点\(F(0,1)\)的距离减去它到\(x\)轴的距离的差都是\(1\)．

\((1)\)求曲线\(C\)的方程\(;\)

\((2)\)设直线\(y=kx+m(m > 0)\)与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，若对任意\(k∈R\)，都有\(\overrightarrow{{FA}}·\overrightarrow{{FB}} < 0\)，求\(m\)的取值范围．

下面给出四个命题的表述：

\(①\)直线\((3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)\)恒过定点\((-3,3)\)；

\(②\)线段\(AB\)的端点\(B\)的坐标是\((3,4)\)，\(A\)在圆\(x^{2}+y^{2}=4\)上运动，则线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹方程\({{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=1\)；

\(③\)已知\(M=\left\{ \left.\left(x,y\right) \right|y= \sqrt{1-{x}^{2}}\right\} \)，\(N=\{(x,y)|y=x+b\}\)，若\(M∩N\neq \varnothing \)，则\(b∈\left[- \sqrt{2}, \sqrt{2}\right] \)；

其中表述正确的是  \((\)    \()\)

方程\(x-1= \sqrt{1-(y-1{)}^{2}} \)表示的曲线是\((\)　　\()\)

已知\(M\)\((4,0)\)，\(N\)\((1,0)\)，曲线\(C\)上的任意一点\(P\)满足：\( \overset{→}{MN}· \overset{→}{MP}=6| \overset{→}{PN}| \)．

\((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的轨迹方程；

\((\)Ⅱ\()\)过点\(N\)\((1,0)\)的直线与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，交\(y\)轴于\(H\)点，设\( \overset{→}{HA} =\)\(λ\)_{1\( \overset{→}{AN} \)}，\( \overset{→}{HB} =\)\(λ\)_{2\( \overset{→}{BN} \)}，试问\(λ\)\({\,\!}_{1}+\)\(λ\)\({\,\!}_{2}\)是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．

已知一个动圆与圆\(C:\)：\({{(x+4)}^{2}}+{{y}^{2}}=100\)内切，且过点\(A(4,0)\)，则这个动圆圆心的轨迹方程为：________________．

已知圆\(C\)的圆心在直线\(3x+y-1=0\)上，且\(x\)轴，\(y\)轴被圆\(C\)截得的弦长分别为\(2 \sqrt{5} \)，\(4 \sqrt{2} \)，若圆心\(C\)位于第四象限

\((1)\)求圆\(C\)的方程；

\((2)\)设\(x\)轴被圆\(C\)截得的弦\(AB\)的中心为\(N\)，动点\(P\)在圆\(C\)内且\(P\)的坐标满足关系式\((x-1)^{2}-y^{2}= \dfrac{5}{2} \)，求\( \overset{⇀}{PA·} \overset{⇀}{PB} \)的取值范围．

已知动点\(P(x\ ,\ y)\)满足\(5\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}}=\left| 3x+4y+12 \right|\)，则\(P\)点轨迹为