已知点\(P\)\((2,2)\)，圆\(C\)：\(x\)\({\,\!}^{2}+\)\(y\)\({\,\!}^{2}-8\)\(y\)\(=0\)，过点\(P\)的动直线\(l\)与圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M\)，\(O\)为坐标原点．

\((1)\)求\(M\)的轨迹方程；

\((2)\)当\(|\)\(OP\)\(|=|\)\(OM\)\(|\)时，求\(l\)的方程及\(\triangle \)\(POM\)的面积．

给出下列命题：

\(①\)已知圆\(C:x^{2}+y^{2}=1\)外一点\(P(3,4)\)，过点\(P\)作圆\(C\)的切线，切点分别为点\(A\)、\(B\)，则\(AB\)所在的直线方程为\(3x+4y-2=0\)；

\(②\)已知\(BC\)是圆\(x^{2}+y^{2}=25\)的动弦，且\(|BC|=6\)，则\(BC\)的中点的轨迹方程是\(x^{2}+y^{2}=16\)；

\(③\)已知\(A\)、\(B\)两点的坐标分别为\(A(x_{1},y_{1})\)、\(B(x_{2},y_{2})\)，则以\(AB\)为直径的圆的方程为：\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0\)；

\(④\)已知直角坐标系中圆\(C\)方程为\(F(x,y)=0\)，\(P(x_{0},y_{0})\)为圆内一点\((\)非圆心\()\)，那么方程\(F(x,y)=F(x_{0},y_{0})\)所表示的曲线是比圆\(C\)半径小，与圆\(C\)同心的圆；

其中正确的命题为_________．

如图，矩形\(ABCD\)中，\(AB=1\)，\(BC= \sqrt{3}\)，将\(\triangle ABD\)沿对角线\(BD\)向上翻折，若翻折过程中\(AC\)长度在\(\left[ \left. \dfrac{ \sqrt{10}}{2}, \dfrac{ \sqrt{13}}{2} \right. \right]\)内变化，则点\(A\)所形成的运动轨迹的长度为________．

如图所示，经过圆\(x^{2}+y^{2}=4\)上任一点\(P\)作\(x\)轴的垂线，垂足为\(Q\)，求线段\(PQ\)中点轨迹的普通方程．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，\(O\)为坐标原点，动点\(M\)到点\(P(1,0)\)与到点\(Q(4,0)\)的距离之比为\(\dfrac{1}{2}\)，已知点\(A(\sqrt{2},0)\)，则\(\angle OMA\)的最大值为\((\)    \()\)

已知圆\(O\)的方程为\(x^{2}+y^{2}=9\)，若抛物线\(C\)过点\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)，且以圆\(O\)的切线为准线，则抛物线\(C\)的焦点\(F\)的轨迹方程为    \((\)　　\()\)

已知坐标满足方程\(f(x,y)=0\)的点都在曲线\(C\)上，那么

已知\(P\)是以\({{F}_{1}}{{,}_{{}}}{{F}_{2}}\)为焦点的椭圆上一点，经过焦点\({{F}_{2}}\)作\(\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}\)外角平分线的垂线，则垂足\(M\)的轨迹是

动点\(M\)坐标满足方程\(5\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| 3x+4y-12 \right|\)，则点\(M\)的轨迹是\((\)   　\()\)