知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．
（i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．
（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．

难度：较难

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2．设F₁、F₂分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若椭圆上的点A（1，
3
2
）到点F₁、F₂的距离之和等于4，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆C上的动点，求线段F₁P的中点M的轨迹方程．

难度：中等

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3． F₁，F₂是椭圆

=1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（　　）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

难度：较难

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4．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点(2，
3
)，且离心率为
3
2
．椭圆上还有两点P、Q，O为坐标原点，连接OP、OQ，其斜率的积为-
1
4
．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：|OP|²+|OQ|²为定值，并求出此定值；
（3）求PQ中点的轨迹方程．

难度：较难

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5．已知椭圆的焦点是F₁，F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是（　　）

A．椭圆

B．双曲线的一支

C．抛物线

D．圆

难度：较难

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6．设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（-
2
，0）、B（
2
，0），离心率e=
2
2
．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且|MN|=
8
2
7
，求直线MN的方程．

难度：较难

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7．（1）点M（x，y）到定点F（5，0）的距离和它到定直线l：x=
16
5
的距离的比是常数
5
4
，求点M的轨迹．
（2）已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．

难度：中等

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8．已知F₁、F₂分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F₁、F₂两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

难度：较难

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9．已知三角形△ABC的两顶点为B（-2，0），C（2，0），它的周长为10，求顶点A轨迹方程．

难度：中等

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10．已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足∠AMB=2θ，且|AM||BM|cos²θ=3，动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l过点（-1，0），且与曲线C交于P，Q两点，求△BPQ的内切圆面积的最大值．

难度：中等

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