知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P是椭圆C：
x2
9
+y²=1上的动点，一定点Q（1，0）．有个点P使得|PQ|=2成立；当点P运动时，线段PQ中点M的轨迹方程为．

难度：中等

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2．如图，已知圆C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上．
（1）当r在（1，+∞）内变化时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知定点P（-1，1）和Q（1，0），设直线PM、QM与轨迹E的另一个交点分别是M₁、M₂．求证：当M点在轨迹E上变动时，只要M₁、M₂都存在且M₁≠M₂，则直线M₁M₂恒过一个定点，并求出这个定点．

难度：较难

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3．已知F是抛物线x²=4y的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点轨迹方程是（　　）

A．x²=y-

B．x²=2y-

C．x²=2y-2

D．x²=2y-1

难度：较难

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4．已知点P是椭圆
x2
6
+
y2
4
=1上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点N（x，y）的轨迹方程为．

难度：中等

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5．已知F是抛物线y²=4x上的焦点，P是抛物线上的一个动点，若动点M满足
FP
=2
FM
，则M的轨迹方程是．

难度：中等

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6．椭圆
x2
3
+
y2
2
=1的左右焦点分别为F₁和F₂，直线l₁过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁于点P，求线段P F₁的垂直平分线与 l₂的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．

难度：较难

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7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，一曲线E过点A，动点P在曲线E运动，且保持|PC|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）若直线l交曲线E于M、N两点，曲线E与y轴正半轴交于Q点，且△QMN的重心恰好为B点，求线段MN中点的坐标；
（3）以V（-6，-6）为圆心的圆与曲线E交于R、S两点，求RS中点T的轨迹方程．

难度：较难

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8．已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y²=2x相交于A、B两点，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求证：直线L过定点；
②求点E的轨迹方程．

难度：中等

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9． △ABC的一边的两个端点是B（0，6）和C（0，-6），另两边的斜率乘积是
4
9
，则顶点A的轨迹方程是．

难度：中等

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10．已知定点F（
p
2
，0）与定直线l：x=-
p
2
(p≥0)动圆C经过点F且与l相切．
（1）试求动圆圆心C的轨迹E和E的轨迹方程．
（2）在（1）的条件下，若p≠0，过E的焦点作直线m交E于A，B两点，O为原点，求∠AOB得最大值．

难度：中等

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