知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)．
（1）若椭圆C上一动点M₁满足|
M1F1
|+|
M1F2
|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2
3
，求P点的坐标；
（3）已知m+n=-
cosθ
sinθ
，mn=-
3
sinθ
(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m²），（n，n²）的直线的最短距离dmin=
a2+b2
-b．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．在平面内，设A，B为两个不同的定点，动点P满足：

•

=k2（k为实常数），则动点P的轨迹为（　　）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．不确定

难度：较易

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4．在平面直角坐标系xOy中，点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为
1
2
．
（1）求点Q的轨迹方程E；
（2）若点A，B分别是轨迹E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点M是直线l上不同于点B的任意一点，直线AM交轨迹E于点P．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

难度：中等

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5．已知动点P在曲线y=2x²+1上移动，定点Q（0，-1），则线段PQ中点的轨迹方程是．

难度：较易

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6．如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，AB=4，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积等于2
2
，求直线l的方程．

难度：中等

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7．如图所示，已知A（-1，0），B（1，0），直线l垂直AB于A点，P为l上一动点，点N为线段BP上一点，且满足
BP
=2
BN
，点M满足
PM
=λ
AB
（λ＞0），
MN
•
BP
=0．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程C；
（Ⅱ）在上述曲线C内是否存在一点Q，若过点Q的直线与曲线C交于两点E、F，使得以EF为直径的圆都与l相切．若存在，求出点Q的坐标．若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．已知平面内点M到椭圆
x2
169
+
y2
144
=1的左焦点和右焦点的距离之比为2：3，试求点M的轨迹方程．

难度：中等

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9．经过点F（0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M，过点F且斜率为1的直线l交M于A、B两点，动点Q也在M上，且在A、B之间（不与A或B重合）．
（1）求M的轨迹方程及线段AB的长度|AB|．
（2）求△ABQ的面积S的最大值．

难度：中等

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10．过点A（2，1）的直线与双曲线2x²-y²=2交于P、Q两点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（　　）

A．2x²-y²-4x+y=0

B．2x²-y²+4x+y=0

C．2x²-y²+4x-y=0

D．2x²-y²-4x-y=0

难度：较易

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