知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定点G（-3，0），S是圆C：（x-3）²+y²=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M．
（1）求M的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l，使得直线l与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C上任意一点到点M（0，
1
2
）的距离与到直线y=-
1
2
的距离相等．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A₁（x₁，0），A₂（x₂，0）是x轴上的两点（x₁+x₂≠0，x₁x₂≠0），过点A₁，A₂分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点A₁′，A₂′，直线A₁′A₂′与x轴交于点A₃（x₃，0），这样就称x₁，x₂确定了x₃．同样，可由x₂，x₃确定了x₄．现已知x₁=6，x₂=2，求x₄的值．

难度：中等

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3．如图，设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=
4
5
|PD|
（1）求：当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
（2）直线l：kx+y-5=0恒与点M的轨迹C有交点，求k的取值范围．

难度：中等

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4．已知圆C₁：（x-1）²+y²=（
7
3
4
）²，圆C₂：（x+1）²+y²=（
3
4
）²动圆C与圆C₁内切，与圆C₂外切．记动圆C的圆心轨迹为曲线G，若动直线l与曲线G相交于P、Q两点，且S_△OPQ=
6
2
，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求曲线G的方程．
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|-|PQ|的最大值．

难度：较难

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5．【理科生做】已知点A、B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-1．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点（2，0）且斜率为k的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），记△ODE与△ODF面积之比为λ，求关于λ和k的关系式，并求出λ取值范围（O为坐标原点）．

难度：较难

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6．在四边形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4）点B在x轴上．BC∥AD，且对角线AC⊥BD．
（1）求点C的轨迹T的方程；
（2）若点P是直线y=2x一5上任意一点，过点p作点C的轨迹T的两切线PE、PF、E、F为切点．M为EF的中点．求证：PM∥Y轴或PM与y轴重合：
（3）在（2）的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是．请说明理由．

难度：较难

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7．

如图，已知点P在焦点为F₁、F₂的椭圆上运动，则与△PF₁F₂的边PF₂相切，且与边F₁F₂，F₁P的延长线相切的圆的圆心M一定在（　　）

A．一条直线上

B．一个圆上

C．一个椭圆上

D．一条抛物线上

难度：较难

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8．已知圆B方程（x-c）²+y²=4a²（a＞c＞0，a，c是常数），且A（-c，0），点M在圆B上运动，线段AM的垂直平分线交MB于点P．
（Ⅰ）判断点P的轨迹；
（Ⅱ）若满足题设的点P，使∠APB取其最大值
π
2
时，求点P的轨迹的离心率．

难度：中等

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9．已知半圆x²+y²=4（y≥0），动圆与此半圆相切且与x轴相切
（Ⅰ）求动圆圆心轨迹，并画出轨迹图形
（Ⅱ）在所求轨迹曲线上求点P，使得点P与定点Q（0，6）的距离为5．

难度：较难

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10．点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆
x2
16
+
y2
9
=1上运动，则△F₁F₂P的重心G的轨迹方程是．

难度：中等

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