知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，且抛物线 $y%5E%7B2%7D%3D4%20%5Csqrt%20%7B2%7Dx$ 的焦点是椭圆M的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．

难度：中等

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2．已知动点P（x，y）满足 $%20%5Csqrt%20%7Bx%5E%7B2%7D%2B%28y%2B3%29%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Csqrt%20%7Bx%5E%7B2%7D%2B%28y-3%29%5E%7B2%7D%7D%3D10$ ，则动点P的轨迹是（　　）

A．双曲线

B．椭圆

C．抛物线

D．线段

难度：较易

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3．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x²+y²=1截得的弦长为 $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M， $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ =λ（ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ ），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

难度：较易

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4．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ $%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，并且过点P（2，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．

难度：较易

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5．平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ $%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的长轴长为2，抛物线E：x²=2y的准线与椭圆C相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点且与抛物线E在第一象限相切于点P，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M，求 $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3PFG%7D%7D%7B%7COG%7C%7D$ 的最小值及此时点P的坐标．

难度：中等

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6．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的右焦点到直线x-y+3 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ =0的距离为5，且椭圆C的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）给出定点Q（ $%20%5Cfrac%20%7B6%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B6%7D$ ，0），对于椭圆C的任意一条过Q的弦AB， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CQA%7C%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CQB%7C%5E%7B2%7D%7D$ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

难度：中等

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7．已椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（＞＞0）点（1， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ）右焦点且垂于x的直线截椭圆所得弦是1．
点A，分是椭C的左，右点，过点（1，0直线与椭圆于M，N两点（M，N与A，B不重合，证明：直线AM和直线B的横坐为值．

难度：较易

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8．如图，已知椭圆C $%EF%BC%9A%C2%A0%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）与直线l：y= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x+1交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，B点坐标为（- $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ），求椭圆的标准方程；
（2）若直线OA、OB的斜率分别为k₁、k₂，且k₁k₂=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ，求证：椭圆恒过定点，并求出所有定点坐标．

难度：较易

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9．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，顶点A（a，0），B（0，b），中心O到直线AB的距离为 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上一动点P满足： $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ +2μ $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，若Q（λ，μ）为一动点，E₁（- $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，0），E₂（ $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，0）为两定点，求|QE₁|+|QE₂|的值．

难度：较易

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10．已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，点M（1， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ）在椭圆C上．
（I）求椭圆C的方程；
（II）如图，过F₁任意作两条互相垂直的直线l₁，l₂分别交椭圆C于A，B两点和D，E两点，P，Q分别为AB和DE的中点．试探究直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

难度：较易

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