知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．

\(a=6\)，\(c=1\)的椭圆的标准方程是\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {x^{2}}{36}+ \dfrac {y^{2}}{35}\)

B．\( \dfrac {y^{2}}{36}+ \dfrac {x^{2}}{35}=1\)

C．\( \dfrac {x^{2}}{36}+ \dfrac {y^{2}}{5}=1\)

D．以上都不对

难度：易

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2．
已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，右焦点为\(F\)，过点\(B(0,-b)\)和点\(F\)的直线与原点的距离为\(1\)．
\((1)\)求此椭圆的方程；
\((2)\)过该椭圆的左顶点\(A\)作直线\(l\)，分别交椭圆和圆\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)于相异两点\(P\)、\(Q.\)若\(|PQ|=λ|AP|\)，则实数 \(λ\) 的取值范围．

难度：较易

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3．
已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上有一点 \(P\)满足到椭圆的两个焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离\(|PF_{1}|+|PF_{2}|=10\)，离心率\(e= \dfrac {4}{5}\)．
\((1)\)求椭圆的标准方程．
\((2)\)若\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，求\(\triangle F_{1}PF_{2}\)的面积．

难度：较易

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4．
已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，以原点\(O\)为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(x-y+ \sqrt {6}=0\)相切．
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
\((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(k_{OA}⋅k_{OB}=- \dfrac {3}{4}.\)求证：\(\triangle AOB\)的面积为定值．

难度：较易

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5．
已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的长轴长是短轴长的\( \dfrac {3 \sqrt {5}}{5}\)倍，\(A\)是椭圆\(C\)的左顶点，\(F\)是椭圆\(C\)的右焦点，点\(M(x_{0},y_{0})(x_{0} > 0,y_{0} > 0)\)，\(N\)都在椭圆\(C\)上．
\((\)Ⅰ\()\)若点\(D(-1, \dfrac {2 \sqrt {10}}{3})\)在椭圆\(C\)上，求\(|NF|\)的最大值；
\((\)Ⅱ\()\)若\( \overrightarrow{OM}=2 \overrightarrow{AN}(O\)为坐标原点\()\)，求直线\(AN\)的斜率．

难度：中等

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6．
已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((0,-1)\)，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
\((\)Ⅱ\()\)已知点\(P(m,0)\)，过点\((1,0)\)作斜率为\(k(k\neq 0)\)直线\(l\)，与椭圆交于\(M\)，\(N\)两点，若\(x\)轴平分\(∠MPN\)，求\(m\)的值．

难度：中等

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7．
在平面直角坐标系\(xOy\)，已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右顶点与上顶点分别为\(A\)，\(B\)，椭圆的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，且过点\((1, \dfrac { \sqrt {3}}{2}).\)
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆的标准方程；
\((\)Ⅱ\()\)如图，若直线\(l\)与该椭圆交于\(P\)，\(Q\)两点，直线\(BQ\)，\(AP\)的斜率互为相反数，求证：直线\(l\)的斜率为定值．

难度：较难

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8．
已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，四个顶点围成的四边形的内切圆半径为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
\((2)\)设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的左、右焦点，过\(F_{2}\)作直线交椭圆于\(M\)、\(N\)两点，求三角形\(MNF_{1}\)面积的最大值及取得最大值时直线\(MN\)的方程．

难度：较易

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9．
若椭圆\(E_{1}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a_{1}^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b_{1}^{2}}=1\)和椭圆\(E_{2}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a_{2}^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b_{2}^{2}}=1\)满足\( \dfrac {a_{1}}{a_{2}}= \dfrac {b_{1}}{b_{2}}=m(m > 0)\)，则称这两个椭圆相似，\(m\)称为其相似比．
\((1)\)求经过点\((2, \sqrt {6})\)，且与椭圆\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{2}=1\)相似的椭圆方程．
\((2)\)设过原点的一条射线\(l\)分别与\((1)\)中的两个椭圆交于\(A\)、\(B\)两点\((\)其中点\(A\)在线段\(OB\)上\()\)，求\(|OA|+ \dfrac {1}{|OB|}\)的最大值和最小值．

难度：中等

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