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          共50条信息

            • 1． 正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中棱长为\(1\)，则面\(A_{1}BD\)与底面\(ABCD\)所成的角余弦值为\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)
              B．\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)
              C．\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)
              D．\(- \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)
              难度：较易
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            • 2．

              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(AD/\!/BC\)，\(AD⊥CD\)，且\(AD=CD=2 \sqrt{2} \)，\(BC=4 \sqrt{2} \)，\(PA=2\)，点\(M\)在\(PD\)上．


              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AB⊥PC\)；

              \((\)Ⅱ\()\)若二面角\(M-AC-D\)的大小为\(45^{\circ}\)，求\(BM\)与平面\(PAC\)所成角的正弦值．

              难度：中等
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            • 3．
              正三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA=3\)，\(AB=2\)，则\(PA\)与平面\(PBC\)所成角的余弦值为\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {2 \sqrt {3}}{9}\)
              B．\( \dfrac { \sqrt {6}}{12}\)
              C．\( \dfrac {7 \sqrt {2}}{12}\)
              D．\( \dfrac { \sqrt {2}}{4}\)
              难度：较难
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            • 4． 把正方形\(ABCD\)沿对角线\(AC\)折起，当以\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线\(BD\)和平面\(ABC\)所成的角的大小为\((\)　　\()\)
              A．\(90^{\circ}\)
              B．\(60^{\circ}\)
              C．\(45^{\circ}\)
              D．\(30^{\circ}\)
              难度：中等
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            • 5．

              \(19.\)如图，在直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)中，\(\angle {{A}_{1}}AB=90{}^\circ \)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}/\!/AB\)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}=1\)，\(AB=A{{A}_{1}}=2.\)直角梯形\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)通过直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)以直线\(A{{A}_{1}}\)为轴旋转得到，且使得平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)．


              \((1)\)求证：平面\(CA{{B}_{1}}\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)；

              \((2)\)延长\({{B}_{1}}{{A}_{1}}\)至点\({{D}_{1}}\)，使\({{B}_{1}}{{A}_{1}}={{A}_{1}}{{D}_{1}}\)，\(E\)为平面\(ABC\)内的动点，若直线\({{D}_{1}}E\)与平面\(CA{{B}_{1}}\)所成的角为\(\alpha \)，且\(\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，求点\(E\)到点\(B\)的距离的最小值．

              难度：中等
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            • 6． 已知在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(E\)、\(F\)分别是\(AB\)、\(PD\)的中点，若二面角\(P-CD-A\)为\(60^{\circ}\)，且\(AD=2\)，\(AB=4\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AF/\!/\)平面\(PEC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求直线\(PA\)与平面\(PED\)所成角的正弦值．
              难度：较易
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            • 7．
              在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AA_{1}=AD=2AB.\)若\(E\)，\(F\)分别为线段\(A_{1}D_{1}\)，\(CC_{1}\)的中点，则直线\(EF\)与平面\(ADD_{1}A_{1}\)所成角的正弦值为\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)
              B．\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)
              C．\( \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)
              D．\( \dfrac {1}{3}\)
              难度：较易
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            • 8．

              已知二面角\(α—PQ—β\)为\(\dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{3}\)，\(A∈α\)，\(B∈β\)，\(C∈PQ\)，\(R\)为线段\(A\)的中点，\(\angle ACP=\angle BCP=\dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{6}\)，\(CA=CB=2\)，则直线\(BR\)与平面\(α\)所成角的大小为________．

              难度：中等
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            • 9．

              如图所示，在三棱锥\(A-BCD\)中，\(AB\bot \)平面\(BCD\)，\(AC=AD=2\)，\(BC=BD=1\)，点\(E\)是线段\(AD\)的中点．

              \((1)\)如果\(CD=\sqrt{2}\)，求证：平面\(BCE\bot \)平面\(ABD\) ．

              \((2)\)如果\(\angle CBD=\dfrac{2\pi }{3}\)，求直线\(CE\)和平面\(BCD\)所成的角的余弦值．

              难度：中等
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            • 10．

              如图，四棱柱\(ABCD-A′B′C′D′\)中，侧棱\(AA′⊥ABCD\)，\(AB/\!/DC\)，\(AB⊥AD\)，\(AD=CD=1\)，\(AA′=AB=2\)，\(E\)为棱\(AA′\)的中点．

              ​

              \((1)\)求证：\(B′C′⊥CE\)；

              \((2)\)求二面角\(B′-CE-C′\)的余弦值；
              \((3)\)设点\(M\)在线段\(C′E\)上，且直线\(AM\)与平面\(ADD′A′\)所成角的正弦值为，求线段\(AM\)的长．

              难度：难
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