知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•连云港期中）如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C．
（1）求CE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面BED；
（3）求A₁B与平面BDE夹角的正弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•黄冈校级期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3
2
；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q垂直于AP，并证明你的结论．

难度：中等

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3．（2015秋•重庆校级期中）如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

难度：中等

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4．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁和BB₁的中点．
（1）求证：四边形AEC₁F为平行四边形；
（2）求直线AA₁与平面AEC₁F所成角的正弦值．

难度：中等

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5．（2015秋•晋江市校级期中）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°
（1）求AC的长；
（2）证明：BC⊥PC；
（3）若PA=AB，求PC与平面PAD所成角的正弦值．

难度：中等

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6．已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直线AC与平面CBE所成角正弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．

难度：较难

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7．如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是线段PD的中点．点N在线段PD上，且
PN
=
3
4
PD
．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求直线BD与平面PCD所成角的正弦值的大小；
（3）求cos＜
AN
，
BD
＞．

难度：中等

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8．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD中点，M为线段PC上的一点．
（1）若M为PC中点，求证：ME∥平面PAB；
（2）若二面角M-EB-C的平面角为60°，求直线AB与平面MEB所成角的余弦值．

难度：中等

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9．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的余弦值．

难度：较难

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