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已知三棱柱\(.ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的侧棱与底面垂直，底面是边长为\(\sqrt{3}\)的正三角形\(.\)若\(P\)为底面\(A_{1}B_{1}C_{1}\)的中心，\(PA\)与平面\(ABC\)所成角的大小为\(\dfrac{\pi }{3}\)，则棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的体积为( )
如图，梯形\(ABCD\)中，\(AD= BC\)，\(AB\parallel CD\)，\(AC\bot BD\)，平面\(BDFE\bot \)平面\(ABCD\)，\(EF\parallel BD\)，\(BE\bot BD\)
\((1)\)求证：平面\(AFC\bot \)平面\(BDFE;\)
\((2)\)若\(AB=2CD2\sqrt{2}\) ，\(BE = EF =2\)，求\(BF\)与平面\(DFC\)所成角的正弦值．
如图，在\(Rt∆ABC \)中，\(AB=BC=3\)，点\(E\)、\(F\)分别在线段\(AB\)、\(AC\)上，且\(EF/\!/BC \)，将\(∆AEF \)沿\(EF\)折起到\(∆PEF \)的位置，使得二面角
\(P-EF-B \)的大小为\(60^{\circ} \)．
\((1)\)求证：\(EF⊥PB \)；
\((2)\)当点\(E\)为线段\(AB\)的靠近\(B\)点的三等分点时，求\(PC\)与平面\(PEF\)所成角\(\theta \)的正弦值．
正四棱锥\(P-ABCD\)的侧面是全等的正三角形，则侧棱\(PA\)与底面\(ABCD\)所成角的大小是________．
如图，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，各棱长均相等\(.D\)，\(E\)，\(F\)分别为棱\(AB\)，\(BC\)，\(A_{1}C_{1}\)的中点．
\((\)Ⅰ\()\)证明\(EF/\!/\)平面\(A_{1}CD\)；
\((\)Ⅱ\()\)若三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)为直棱柱，求直线\(BC\)与平面\(A_{1}CD\)所成角的正弦值．
如图，在四面体\(ABCD\)中，平面\(ACD⊥\)平面\(BCD\)，\(\angle BCA=90{}^\circ \)，\(AC=1\)，\(AB=2\)，\(\Delta BCD\)为等边三角形．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(AC⊥\)平面\(BCD\)
\((\)Ⅱ\()\)求直线\(CD\)与平面\(ABD\)所成角的正弦值．
已知边长为\(6\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，\(E\)，\(F\)为\(AD\)、\(CD\)上靠近\(D\)的三等分点，\(H\)为\(BB_{1}\)上靠近\(B\)的三等分点，\(G\)是\(EF\)的中点．\((1)\)求\(A_{1}H\)与平面\(EFH\)所成角的正弦值；\((2)\)设点\(P\)在线段\(GH\)上，\( \dfrac {GP}{GH}=λ\)，试确定\(λ\)的值，使得二面角\(P-C_{1}B_{1}-A_{1}\)的余弦值为\( \dfrac { \sqrt {10}}{10}\)．
直三棱柱\((\)侧棱垂直于底面的三棱柱\()ABC—A_{1}B_{1}C_{1}\)中，底面是正三角形，三棱柱的高为\(\sqrt{3}\)，若\(P\)是\(\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\)的中心，且三棱柱的体积为\(\dfrac{9}{4}\)，则\(PA\)与平面\(ABC\)所成角的大小是
正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(BB_{1}\)与平面\(ACD_{1}\)所成角的余弦值为\((\) \()\)
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