知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁D-C的余弦值．

难度：中等

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2．（2016•银川模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．

难度：中等

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3．（2016•柳州模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=
2
，D是PC的中点
（1）证明：AB⊥PC；
（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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4．（2016•陕西模拟）如图：几何体ABCD-B₁C₁D₁中，正方形BB₁D₁D⊥平面ABCD，D₁D∥CC₁，平面D₁DCC₁与与平面B₁BCC₁所成的二面角的余弦值为
2
3
，BC=3，CD=2CC₁=2，AD=
5
，AD∥BC，M为DD₁上任意一点．
（1）当平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁时，求DM的长；
（2）若DM=
5
4
，求直线AD与平面BC₁M所成的角的正弦值．

难度：中等

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若
DC
=λ
AB
，且向量
PC
与
BD
夹角的余弦值为
15
15
．
（1）求实数λ的值；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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6．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=
2
．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）在线段AD上是否存在点Q，使得直线CQ和平面BCP所成角θ的正弦值为
2
7
7
？若存在，请说明点Q位置；
若不存在，请说明不存在的理由．

难度：中等

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7．如图，正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．
（Ⅰ）求证：EP⊥AC；
（Ⅱ）当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．

难度：较易

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8．在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（1）求证：AC⊥平面FBC；
（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

难度：中等

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9．如图四棱锥P-ABCD的底面是一等腰梯形，其中AD∥BC，其中AD=3BC=6，AB=DC=2
2
，又平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=5，点O是线段AD的中点，经过直线OB且与直线PA平行的平面OBM与直线PC相交于点M．
（1）确定实数t，使得
PM
=t
MC
；
（2）求平面PAD与平面OBM夹角的余弦值．

难度：中等

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10．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=AA₁=1，则D₁C₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值为（　　）

A．

B．

C．2

D．

难度：中等

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