知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•鹰潭一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=
6
，CD=2AB=2
2
，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点．
（1）求证：CD⊥BF；
（2）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016•贵阳一模）如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AB=2，BC=
2
，在直线AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．（2015秋•哈尔滨校级月考）如图，底面为菱形P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABD=60°，E为PC上一动点，PA=AB．
（1）求证BD⊥AE；
（2）当AE⊥平面PBD时，求
PE
CE
的值；
（3）在（2）的条件下，求AE与平面PBD所成角的正弦值．

难度：中等

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4．三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PB=PC=3．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）设AB=BC=2
3
，求直线AC与平面PBC所成角的大小．

难度：中等

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5．（2015秋•晋江市校级期中）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°
（1）求AC的长；
（2）证明：BC⊥PC；
（3）若PA=AB，求PC与平面PAD所成角的正弦值．

难度：中等

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6．在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=
1
3
BC=1，E为SD的中点．
（1）若F为线段BC上一点，且BF=
1
6
BC，求证：EF∥平面SAB；
（2）在线段BC上是否存在一点G，使得直线EG与平面SBC所成角的正弦值为
7
14
？若存在，求出BG的长度，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=
2
，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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8．已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：C′D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．

难度：中等

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9．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA₁垂直于底面ABC，∠ABC=
π
2
，AB=BC=AA₁=4，D为BC的中点．
（1）若E为棱CC₁的中点，求证：DE⊥A₁C；
（2）若E为棱CC₁上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足sinα=
4
61
61
时CE的长．

难度：中等

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10．如图，四棱锥S-ABCD中，BC∥AD，BC=2AB=2AD=2，SD=
1
2
，BD⊥SD，∠ABC=60°，E为BC的中点．
（1）求证：AD∥平面SBC；
（2）求证：BD⊥SC；
（3）若二面角S-BD-C为60°，求直线SE与平面SDC所成的角．

难度：中等

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