知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．
已知四棱锥\(S-ABCD\)的底面为平行四边形\(SD⊥\)面\(ABCD\)，\(SD=1\)，\(AB=2\)，\(AD=1\)，\(∠DAB=60^{\circ}\)，\(M\)、\(N\)分别为\(SB\)、\(SC\)中点，过\(MN\)作平面\(MNPQ\)分别与线段\(CD\)、\(AB\)相交于点\(P\)、\(Q\)．
\((1)\)在图中作出平面\(MNPQ\)，使面\(MNPQ/\!/\)面\(SAD\)，并指出\(P\)、\(Q\)的位置
\((\)不要求证明\()\)；
\((2)\)若\( \overrightarrow{AQ}= \dfrac {1}{3} \overrightarrow{AB}\)，求二面角\(M-PQ-B\)的平面角大小？

难度：较易

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4．
已知四棱锥\(S-ABCD\)的底面为平行四边形，且\(SD⊥\)面\(ABCD\)，\(AB=2AD=2SD\)，\(∠DCB=60^{\circ}\)，\(M\)、\(N\)分别为\(SB\)、\(SC\)中点，过\(MN\)作平面\(MNPQ\)分别与线段\(CD\)、\(AB\)相交于点\(P\)、\(Q\)．
\((\)Ⅰ\()\)在图中作出平面\(MNPQ\)使面\(MNPQ‖\)面\(SAD(\)不要求证明\()\)；
\((II)\)若\(| \overrightarrow{AB}|=4\)，在\((\)Ⅰ\()\)的条件下求多面体\(MNCBPQ\)的体积．

难度：较易

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5．
如图，四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(A_{1}A⊥\)底面\(ABCD\)，四边形\(ABCD\)为梯形，\(AD/\!/BC\)，且\(AD=2BC\)，\(Q\)为\(BB_{1}\)的中点，过\(A_{1}\)，\(Q\)，\(D\)三点的平面记为\(α\)．
\((\)Ⅰ\()\)证明：平面\(α\)与平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的交线平行于直线\(CD\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(AA_{1}=3\)，\(BC=CD= \sqrt {3}\)，\(∠BCD=120^{\circ}\)，求平面\(α\)与底面\(ABCD\)所成二面角的大小．

难度：较易

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6．
如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为平行四边形，\(PA⊥\)底面\(ABCD\)，且\(PA=AB=AC=2\)，\(BC=2 \sqrt {2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(PCD⊥\)平面\(PAC\)；
\((\)Ⅱ\()\)如果\(M\)是棱\(PD\)上的点，\(N\)是棱\(AB\)上一点，\(AN=2NB\)，且三棱锥\(N-BMC\)的体积为\( \dfrac {1}{6}\)，求\( \dfrac {PM}{MD}\)的值．

难度：较难

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7．
已知四棱锥\(S-ABCD\)的底面为平行四边形，且\(SD⊥\)面\(ABCD\)，\(AB=2AD=2SD\)，\(∠DCB=60^{\circ}\)，\(M\)，\(N\)分别为\(SB\)，\(SC\)中点，过\(MN\)作平面\(MNPQ\)分别与线段\(CD\)，\(AB\)相交于点\(P\)，\(Q\)．
\((\)Ⅰ\()\)在图中作出平面\(MNPQ\)，使面\(MNPQ‖\)面\(SAD(\)不要求证明\()\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\( \overrightarrow{AQ}=λ \overrightarrow{AB}\)，是否存在实数\(λ\)，使二面角\(M-PQ-B\)的平面角大小为\(60^{\circ}\)？若存在，求出的\(λ\)值，若不存在，请说明理由．

难度：较易

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8．
底面为菱形的直棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)、\(F\)分别为棱\(A_{1}B_{1}\)、\(A_{1}D_{1}\)的中点．
\((\)Ⅰ\()\)在图中作一个平面\(α\)，使得\(BD⊂α\)，且平面\(AEF/\!/α\)，\((\)不必给出证明过程，只要求作出\(α\)与直棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的截面\(.)\)
\((II)\)若\(AB=AA_{1}=2\)，\(∠BAD=60^{\circ}\)，求平面\(AEF\)与平面\(α\)的距离\(d\)．

难度：较易

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9．
圆\(O\)上两点\(C\)，\(D\)在直径\(AB\)的两侧\((\)如图甲\()\)，沿直径\(AB\)将圆\(O\)折起形成一个二面角\((\)如图乙\()\)，若\(∠DOB\)的平分线交弧\( \overparen {BD}\)于点\(G\)，交弦\(BD\)于点\(E\)，\(F\)为线段\(BC\)的中点．
\((\)Ⅰ\()\)证明：平面\(OGF/\!/\)平面\(CAD\)；
\((\)Ⅱ\()\)若二面角\(C-AB-D\)为直二面角，且\(AB=2\)，\(∠CAB=45^{\circ}\)，\(∠DAB=60^{\circ}\)，求直线\(FG\)与平面\(BCD\)所成角的正弦值．

难度：较易

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10．
三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧棱\(AA_{1}⊥\)平面\(ABC\)，各棱长均为\(2\)，\(D\)、\(E\)、\(F\)分别是棱\(AC\)，\(AA_{1}\)，\(CC_{1}\)的中点
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(B_{1}F/\!/\)平面\(BDE\)；
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(F-BE-D\)的余弦值．

难度：较易

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