知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•延边州模拟）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC₁的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）若D为AB中点，∠CA₁D=45°且AB=2，求三棱锥F-AEC的体积．

难度：中等

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2．（2016•重庆校级模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=1．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积V．

难度：中等

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3．（2016•衡阳校级一模）已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2，DC=3，E为AB的中点，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF，过E作EF∥AD，
（1）若G为DF的中点，求证：EG∥面BCD；
（2）若AD=2，试求多面体AD-BCFE体积．

难度：中等

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4．（2016•河北模拟）在三棱ABC-A′B′C′中，侧棱AA′⊥底面ABC，AC⊥AB，AB=2，AC=AA′=3，
（Ⅰ）若F为线段B′C上一点，且
CF
FB′
=
9
4
，求证：BC⊥平面AA′F；
（Ⅱ）若E，F分别是线段BB′，B′C的中点，设平面A′EF将三棱柱分割成左右两部分，记它们的体积分别为V₁和V₂，求V₁．

难度：中等

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5．（2016春•宁远县校级期中）如图，已知四棱锥P-ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积V．

难度：较易

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6．（2016•乌鲁木齐模拟）如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是AA₁和CC₁的中点，且BE⊥B₁F．
（Ⅰ）求证B₁F⊥平面BEC₁；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-BEC₁的体积．

难度：中等

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7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点，AB⊥AC，AB=3，AC=4，AA₁=BC．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求三棱锥B₁-ADC₁的体积．

难度：较易

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8．如图所示，已知在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；
（2）求三棱锥M-EFB的体积．

难度：中等

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9．如图，△BCD与△MCD都是正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABM；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求三棱锥A-BCD与三棱锥M-ACD的体积比；
（Ⅲ）若AB=2
3
，CD=2，求直线DM与平面ACM所成角的正弦值．

难度：中等

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10．已知纸片Rt△ABC中，AB=AC=1，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）使AD垂直于桌面，且二面角B-AD-C为直二面角．
（1）求V_D-ABC；
（2）求四面体D-ABC的表面积．

难度：较易

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