知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•鞍山一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB是直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）若V_C-BEF=1，求PA的长．

难度：中等

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2．（2016•雅安模拟）圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧
BD
于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求四面体FCOG的体积．

难度：较难

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3．（2016•淄博二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．
（Ⅰ）求证：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求三棱锥E-AFB的体积．

难度：中等

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4．（2016•蚌埠二模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABFE是平行四边形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2
2
，∠BAC=90°，AB=AC，点E在底面ABC的射影为BC的中点O．
（1）证明：ED⊥平面EBC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

难度：中等

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5．（2016•虹口区二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：
（1）异面直线PC与AD所成角的大小；
（2）四棱锥P-ABCD的体积与侧面积．

难度：中等

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6．（2016•赣州模拟）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，G为ABC的重心，延长线段AG交BC于F，B₁F交BC₁于E．
（1）求证：GE∥平面AA₁B₁B；
（2）平面AFB₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

难度：中等

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7．如图所示的多面体EF-ABCD中，AF⊥底面ABCD，AF∥CE，四边形ABCD为正方形，AF=2AB=2CE．
（1）求证：EF⊥平面BED；
（2）当三棱锥E-BDF的体积为4时，求多面体EF-ABCD的表面积．

难度：中等

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8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长等于2的正方形，其他四个侧面都是边长等于
5
的等腰三角形，点E是PC中点．
（1）求证：PA∥平面EBD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若该四棱锥P-ABCD是一个铜制的几何体，将它熔铸成一个实心球体，假设熔铸过程没有材料损失，求这个球体的表面积．

难度：中等

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9．如图，四棱锥P-ABCD中，△ABC与△PAB均为等边三角形，AC=
2
AD=
2
CD，PC=
3
2
AB．
（1）若三棱锥P-ABC的体积为
3
2
，求四边形ABCD的面积．
（2）N为DP上一点，且
NP
=
3
DN
，在线段AB上是否存在一点M，使MN∥平面PBC，若存在．求出
AM
AB
，若不存在，说明理由．

难度：中等

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10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC₁=1，AC=2，∠ABC=90°．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）求三棱锥A₁-ABC₁的体积．

难度：中等

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