知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C₁CD⊥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求三棱锥D-CAB₁的体积．

难度：较难

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2．一个长为8cm，宽为6cm，高为10cm的密封的长方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，则小球在盒子中总不能到达的空间的体积为 cm³．

难度：较难

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3．（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD=1，BC=2，又PC=1，∠PCB=120°，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅲ）求四面体E-ABC的体积．

难度：中等

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4．（2015秋•海淀区期末）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；
（Ⅲ）求三棱锥P-ADE的体积．

难度：中等

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5．如图，正四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
2
倍，CD=
2
，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）求三棱锥P-ACD的体积．

难度：中等

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6．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一点，且满足B₁D⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥AE；
（Ⅱ）求三棱锥A-CDE的体积．

难度：中等

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7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=
2
，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积．

难度：较难

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8．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（1）证明：CE⊥AB；
（2）若AB=PA=2，求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）若∠PDA=60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．

难度：较难

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9．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C
（Ⅱ）若AB=CB=4，A₁C=2
6
，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

难度：中等

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10．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在B₁D₁上，且ED₁=2B₁D，AC与BD交于点O．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求三棱锥O-CED₁的体积．

难度：中等

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