知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•余姚市期末）如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，
（Ⅰ）求证：BD∥平面EFG；
（Ⅱ）若AD=CD，AB=CB，求证：AC⊥BD．

难度：中等

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2．（2015秋•西宁校级期末）如图1，已知正三角形ABC，以AB、AC为边在同一平面内向外作正三角形ABE与ACD，F为CD中点，分别沿AB、AF将平面ABE、平面ADE折成直二面角，连接EC、CD，如图2所示．
（1）求证：CD∥平面ABE；
（2）求二面角E-AC-B的余弦值．

难度：中等

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3．（2015秋•洛阳期末）如图，ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．
（1）若PA=AB，点E是PC的中点，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；
（2）若BE⊥PC且交点为E，BE=
6
3
a，G为CD的中点，线段AB上是否存在点F，使得EF∥平面PAG？若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．（2015秋•上海校级月考）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠A=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点，
（1）求证：PC∥平面EBD．
（2）求E到平面PBC的距离．

难度：中等

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5．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面
ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；
（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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6．已知：正四棱锥P-ABCD，O为正方形ABCD的中心，PA与底ABCD所成的角为α，且cosα=
10
5
．
（1）若E为PB的中点，求证：OE∥平面PCD；
（2）求侧面PCD与底面ABCD所成二面角的大小．

难度：中等

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7．如图，三棱锥C-ABD的棱AB在平面α内，棱CD在平面α外，平面CAB⊥平面α，点D在平面α内的射影为E，且满足EA⊥EB，AC=BC=EA=EB=2，DE=2
2
．
（1）求证：AE∥平面BCD；
（2）求二面角E-CD-B的正弦值．

难度：中等

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8．如图所示，多面体A₁B₁D₁DCBA是长方体A₁B₁C₁D-ABCD被平面B₁CD₁截去一个三棱锥后所得的几何体，M为B₁D₁的中点，过A₁、D、M的平面交CD₁于点N．
（1）证明：MN∥B₁C；
（2）若AB=AD=2，AA₁=4，求二面角A-MN-B的余弦值．

难度：中等

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9．如图，四边形ABCD为矩形，DD₁⊥底面ABCD，AD=DD₁=
1
2
AB，点F为AD₁的中点．点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥FD；
（2）在棱AB（不包括A、B端点）上是否存在一点E，使得DF∥平面D₁CE，若存在，求出D₁E的长度；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．下列三个图分别是四棱锥A-BCEF的直观图、侧视图、俯视图，在直观图中，侧面ABC⊥底面BCEF，M为AC的中点，侧视图是等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．
（1）求证：BM∥面AEF；
（2）求证：AE⊥BM；
（3）求该四棱锥A-BCEF的体积．

难度：较易

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