知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•郴州二模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为A的正三角形，点M在边BC上，△AMC₁是以M为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：直线A₁B∥平面AMC₁；
（2）求三棱锥C₁-AB₁M的高．

难度：中等

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2．（2016•太原二模）如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，△A₁CB是等边三角形，AC=AB=1，B₁C₁∥BC，BC=2B₁C₁
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面A₁C₁C
（Ⅱ）求多面体ABC-A₁B₁C₁的体积．

难度：中等

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3．已经平行四边形ABCD中，AB=4，E为AB的中点，且△ADE是等边三角形，沿DE把△ADE折起至A₁DE的位置，使得A₁C=4．（1）F是线段A₁C的中点，求证：BF∥平面A₁DE；
（2）求证：A₁D⊥CE；
（3）求点A₁到平面BCDE的距离．

难度：中等

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4．如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB中点，PA=AD=2，AB=1．
（1）求证：PD∥面ACM；
（2）求V_D-PMC．

难度：中等

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5．如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC点，F棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱锥D-ABC的体积；
（2）求证：AC⊥平面DEF；
（3）若M为DB中点，N在棱AC上，且CN=
3
8
CA，求证：MN∥平面DEF．

难度：较难

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6．（2015秋•重庆校级期中）如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为PB的中点．
（1）求证：CE∥平面PAD．
（2）在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在请说明理由．

难度：中等

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8．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，D是BC的中点，AA₁=AB=AC=2，
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求三棱锥A₁-B₁DA的体积．

难度：中等

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9．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=
1
2
CD=2，当点M为EC中点时．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．

难度：中等

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10．如图，四边形ACDF为正方形，平面ACDF⊥平面BCDE，BC=2DE=2CD=4，DE∥BC，∠CDE=90°，M为AB的中点．
（1）证明：EM∥平面ACDF；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

难度：中等

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