知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PAD；
（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为
6
2
，求二面角E-AF-C的余弦值．

难度：中等

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2．（2016•江西校级一模）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3，BC=2，D是BC的中点，F是C₁C上一点．
（1）当CF=2，求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B₁D，求三棱锥B₁-ADF体积．

难度：中等

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3．如图1所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点B₁，P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点C₁，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）若点E为四边形BCQP内一动点，且二面角E-AP-Q的余弦值为
3
3
，求|BE|的最小值．

难度：中等

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4．在如图所示的几何体中，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，PO=OB=BC=CD，EA=AO=
1
2
CD．
（Ⅰ）求证：PE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的余弦值．

难度：中等

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5．如图，四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．

难度：中等

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6．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，EA⊥平面ABC，FC∥EA，EA=FC=AB=a．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）证明五点A、B、C、E、F在同一个球面上，并求A、F两点的球面距离．

难度：中等

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7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F分别为PC、PD的中点．
（1）求证：DE⊥平面PBC
（2）在棱BC上确定一点G，使得PA∥面EFG，并写出证明过程
（3）在（2）成立的条件下，求二面角F-EG-C的余弦值．

难度：中等

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8．如图，三棱锥P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2，M为棱PC的中点．
（I）求证：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=
2
AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且
PE
ED
=
BF
FA
=λ(λ＞0)．
（Ⅰ）当λ=1时，证明DF⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使异面直线EF与CD所成的角为60°？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．如图，在直四棱ABCD-A₁B₁C₁D₁中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°，AA₁=2
3
，P、Q分别是棱A₁D₁和AD的中点，R为PB的中点．
（Ⅰ）求证：QR⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角R-QC-B的余弦值．

难度：中等

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