知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•泰安二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为CC₁，A₁B的中点，A₁D⊥CC₁，△AA₁B是边长为2的正三角形，A₁D=2，BC=1．
（1）证明：MD∥平面ABC；
（2）证明：BC⊥平面ABB₁A₁．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．

难度：中等

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3．（2016•湘西州二模）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：EF⊥平面PBC．

难度：中等

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4．（2016•江西模拟）如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁=6，且A₁A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD₁，BC上，BQ=4．
（1）若DP=
2
3
DD₁，证明：PQ∥平面ABB₁A₁；
（2）若P是D₁D的中点，证明：AB₁⊥平面PBC．

难度：中等

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5．（2016•海淀区二模）已知长方形ABCD中，AD=
2
，AB=2，E为AB中点．将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P-BCDE，如图所示．
（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；
（2）当平面PDE⊥平面BCDE时，求四棱锥P-BCDE的体积；
（3）求证：DE⊥PC．

难度：中等

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6．如图所示，已知正四棱锥S-ABCD，E、F分别是侧棱SA、SC的中点．求证：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）EF⊥平面SBD．

难度：中等

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7．如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且PA=AC，点E为PC的中点．
（1）求证：△PBC是直角三角形；
（2）求证：AE⊥平面PBC．

难度：中等

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8．如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为等腰梯形，AB∥EF，点O为AB的中点，M为CD的中点，AB=2，AF=EF=1
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若直线AM与平面CBF所成角的正弦值为
5
10
，求BC的长．

难度：中等

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9．已知在空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC，点E为BC的中点，求证：BC⊥平面AED．

难度：较易

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10．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=2，AB=4，AB∥CD，∠BCD=90°，M为棱PA的中点．
（I）证明：平面BDM⊥平面PAD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一点N，使得直线BN与平面BDM所成角为30°？若存在，求出CN长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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