知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱锥P-ABC中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，∠PCA=90°，E，F分别为AP，AC的中点，且PA=4，BE=
3
．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-BP-C的余弦值．

难度：中等

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2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
π
3
，求
DC
BC
的值．

难度：中等

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3．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．
（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．

难度：中等

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4．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC中，AE=
3
，平面AEFC⊥平面ABCD，点G是线段EF的中点
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BCG
（Ⅱ）求二面角D-GC-B的余弦值．

难度：中等

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5．如图，已知四棱柱ABD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD=2AB=2AD，AD=1，AA₁=
2
．
（Ⅰ）求证：EA₁⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-D₁的余弦值．

难度：中等

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6．已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=1．
（1）求证：CD⊥平面ADP；
（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥AC时，求二面角C-AB-M的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）求点C到平面A₁BC₁的距离．

难度：中等

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8．在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=
2
，点E在棱PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分别为AC，BD的中点，连接AE并延长BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，所示，
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值；
（3）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由．

难度：中等

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10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D，E分别为BB₁，AC₁的中点．
（1）证明：DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）设AA₁=AC=
2
AB，求二面角A₁-AD-C₁的大小．

难度：中等

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