知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•日照一模）如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=AD=
1
2
CD=1．点P为线段C₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求证：平面BCC₁⊥平面BDC₁．

难度：中等

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2．（2016•朝阳区一模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=
3
．M，N分别为BC和CC₁的中点，P为侧棱BB₁上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若P为线段BB₁的中点，求证：A₁N∥平面APM；
（Ⅲ）试判断直线BC₁与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．

难度：中等

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3．（2016•三亚校级模拟）如图，三棱柱ABC-A₁BC₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A⊥底面ABC，D为A₁A的中点．
（Ⅰ）求证：平面B₁DC⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若∠B₁DC=90°，求点A到平面B₁DC的距离．

难度：中等

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4．（2015秋•余姚市期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，△PAB是正三角形，AD=AB=2，BC=1，E是线段AB的中点
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设直线PC与平面PDE所成角为θ，求cosθ

难度：中等

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5．（2015秋•娄底期末）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=BB₁=1，B₁C=2．
（Ⅰ）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

难度：较难

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6．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A₁O⊥平面DBC．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁D；
（Ⅱ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（Ⅲ）求点C到平面A₁BD的距离．

难度：中等

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7．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=DA，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求证：AF∥平面PEC；
（3）M为线段BC的中点，求证AF⊥平面PDM．

难度：中等

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8．（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD=1，BC=2，又PC=1，∠PCB=120°，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅲ）求四面体E-ABC的体积．

难度：中等

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9．（2015秋•合肥校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，PA垂直于⊙O所在的平面ABC
（I）证明：平面PAC丄平面PBC；
（Ⅱ）设PA=
3
，AC=1，求三棱锥A-PBC的高．

难度：中等

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10．如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AE∥CF，AB=AE=1，AF⊥BE．
（Ⅰ）求证：平面BAF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-AF-D的余弦值．

难度：中等

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