知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•忻州校级期末）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形ABC是等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，D为棱AB的中点
（1）求证：平面A₁CD⊥平面AA₁B₁B
（2）求证：BC₁∥平面A₁CD
（3）若AB=1，AA₁=
3
，求三棱锥D-A₁B₁C的体积．

难度：中等

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2．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C₁CD⊥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求三棱锥D-CAB₁的体积．

难度：较难

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3．如图，在正方形AG₁G₂G₃中，点B，C分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，点E，F分别是G₃C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合后记为G．
（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；
（Ⅱ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，并求证：EF∥平面ABG；
（Ⅲ）求证：平面EFB⊥平面GBC．

难度：中等

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4．如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD的交点，SA⊥平面ABCD
（Ⅰ）求证：平面SAC⊥平面SBD；
（Ⅱ）若∠DAB=120°，DS⊥BS，AB=2，求SO的长及点A到平面SBD的距离．

难度：较难

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5．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别为AB、A₁B₁中点，现已给出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的左视图．
（1）请画出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的主视图和俯视图；
（2）请在线段BC上找一点M，使得点M和直线EF所确定的平面（设为α）垂直于面EFD₁D，在图中画出α与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁相交所成的截面，说出BM的长度，并给出证明．

难度：中等

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6．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M、N分别是A B．PC的中点．
（1）求证：平面MND⊥平面PCD；
（2）求点P到平面MND的距离．

难度：较难

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7．已知四边形ABCD是菱形，其对角线AC=4，BD=2，直线AE，CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=4．
（1）求证：平面EBD⊥平面FBD；
（2）求直线AB与平面EAD所成角的正弦值；
（3）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．

难度：中等

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8．己知四棱锥P一ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，M、N分别AB、PC的中点．
（1）求证平面MND⊥平面PCD；
（2）若PA=AD=2，AB=1，求直线MD与平面PCD所成角的大小；
（3）在（2）的条件下，求直线MD与直线PB所成角的大小．

难度：较易

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD=4AP，∠BAD=∠PAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；
（2）求二面角P-BE-F的正切值．

难度：中等

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10．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A₁C₁与B₁D₁的交点，已知AA₁=AB=1，∠BAD=60°．
（1）求证：平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁；
（2）求点O到平面BC₁D的距离．

难度：中等

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