知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•山西三模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，BD⊥PM．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠APD=90°，四棱锥P-ABCD的体积为
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，求三棱锥A-PBM的高．

难度：中等

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2．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，AM=2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥P-MAC的体积．

难度：中等

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3．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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4．（2015秋•天水校级期末）（文科）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，D，E，F分别是AB，BC，CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若∠CA₁D=45°，求三棱锥F-AEC的体积．

难度：中等

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长等于2的正方形，其他四个侧面都是边长等于
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的等腰三角形，点E是PC中点．
（1）求证：PA∥平面EBD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若该四棱锥P-ABCD是一个铜制的几何体，将它熔铸成一个实心球体，假设熔铸过程没有材料损失，求这个球体的表面积．

难度：中等

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6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC₁=1，AC=2，∠ABC=90°．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）求三棱锥A₁-ABC₁的体积．

难度：中等

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7．已知三棱柱柱ABC-A₁B₁C₁，如图所示，其中CA⊥平面ABB₁A₁，四边形ABB₁A₁为菱形，∠AA₁B₁=60°，且AB=2AC，E为BB₁的中点，F为CB₁的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面CAA₁C₁；
（2）求二面角E一AF-B₁的余弦值．

难度：中等

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8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BC、CC₁的中点，求证：面A₁B₁F⊥面C₁DE．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2
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，点M在PC上，PM=mMC．
（1）求证：平面PAD⊥平面MBD；
（2）试确定m的值，使三棱锥P-ABD体积为三棱锥P-MBD体积的3倍．

难度：中等

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10．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD．
（1）证明：EF∥面BCD；
（2）证明：面ACD⊥面CEF；
（3）求三棱锥O₁-OBF的体积．

难度：中等

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