知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．
（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-B的余弦值．

难度：中等

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2．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2，DA=
3
．
（1）线段BC上是否存在一点E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，请给出
BE
CE
的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．
（2）若PC=
3
，线段PC上有一点F，且PC=3PF，求三棱锥A-FBD的体积．

难度：中等

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3．已知三棱锥A-BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC=2，AD⊥平面BCD，AD=1．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）若E为AB中点，求二面角A-CE-D的余弦值．

难度：中等

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：
（1）直线PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD．

难度：中等

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5．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）平面A₁AC⊥面AB₁D₁．

难度：中等

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6．如图四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE为等边三角形，△ABE是以∠A为直角的等腰直角三角形，且AC=BC．
（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的余弦值．

难度：中等

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7．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值为-
5
7
，求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

难度：中等

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8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AP=AD=2CD=1，AB=2，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若侧棱PB上存在点Q，使得V_P-ACD：V_Q-ABC=1：2，求二面角Q-AC-B的余弦值．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=AP，CD=2AB，CD⊥平面APD，AB∥CD，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PCD．

难度：中等

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10．四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=
1
2
CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（2）若M为线段PC上一点，且
PM
=2
MC
，求线段AM与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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